Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29070 / 14166
↖ ↑ ↗
← N 70.920233°
W 20.313721°		 ← 199.66 m → N 70.920233°
W 20.308228°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 70.918437°
W 20.313721°		 ← 199.67 m →
39 867 m²		 N 70.918437°
W 20.308228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443580627441406 y=0.216163635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443580627441406 × 216)
    floor (0.443580627441406 × 65536)
    floor (29070.5)     		tx = 29070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216163635253906 × 216)
    floor (0.216163635253906 × 65536)
    floor (14166.5)     		ty = 14166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29070 / 14166 ti = "16/29070/14166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29070/14166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29070 ÷ 216
    29070 ÷ 65536     		x = 0.443572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14166 ÷ 216
    14166 ÷ 65536     		y = 0.216156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.11285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35454131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216156005859375 × 2 - 1) × π
    0.56768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78344441346457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35454131} λ = -0.35454131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78344441346457))-π/2
    2×atan(5.95031651216502)-π/2
    2×1.40429394674522-π/2
    2.80858789349044-1.57079632675     		φ = 1.23779157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35454131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23779157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.920233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29070 KachelY 14166 -0.35454131 1.23779157 -20.313721 70.920233
    Oben rechts KachelX + 1 29071 KachelY 14166 -0.35444544 1.23779157 -20.308228 70.920233
    Unten links KachelX 29070 KachelY + 1 14167 -0.35454131 1.23776023 -20.313721 70.918437
    Unten rechts KachelX + 1 29071 KachelY + 1 14167 -0.35444544 1.23776023 -20.308228 70.918437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23779157-1.23776023) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dl = 199.667140000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23779157-1.23776023) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dr = 199.667140000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35454131--0.35444544) × cos(1.23779157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326884188456962 × 6371000     		do = 199.656864515883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35454131--0.35444544) × cos(1.23776023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32691380661484 × 6371000     		du = 199.674954924485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23779157)-sin(1.23776023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326884188456962-0.32691380661484)×R²
    abs(-0.35444544--0.35454131)×2.9618157878275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9618157878275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9618157878275e-05×40589641000000     		ar = 39866.7211528774m²