Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29068 / 19758
↖ ↑ ↗
← N 57.944014°
W 20.324707°		 ← 324.21 m → N 57.944014°
W 20.319214°		 →
↑
324.16 m
↓
↑
324.16 m
↓
N 57.941099°
W 20.324707°		 ← 324.23 m →
105 098 m²		 N 57.941099°
W 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443550109863281 y=0.301490783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443550109863281 × 216)
    floor (0.443550109863281 × 65536)
    floor (29068.5)     		tx = 29068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301490783691406 × 216)
    floor (0.301490783691406 × 65536)
    floor (19758.5)     		ty = 19758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29068 / 19758 ti = "16/29068/19758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29068/19758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29068 ÷ 216
    29068 ÷ 65536     		x = 0.44354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19758 ÷ 216
    19758 ÷ 65536     		y = 0.301483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35473306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301483154296875 × 2 - 1) × π
    0.39703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24731812811386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35473306} λ = -0.35473306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24731812811386))-π/2
    2×atan(3.48099484563337)-π/2
    2×1.29105508041102-π/2
    2.58211016082204-1.57079632675     		φ = 1.01131383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35473306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01131383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.944014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29068 KachelY 19758 -0.35473306 1.01131383 -20.324707 57.944014
    Oben rechts KachelX + 1 29069 KachelY 19758 -0.35463718 1.01131383 -20.319214 57.944014
    Unten links KachelX 29068 KachelY + 1 19759 -0.35473306 1.01126295 -20.324707 57.941099
    Unten rechts KachelX + 1 29069 KachelY + 1 19759 -0.35463718 1.01126295 -20.319214 57.941099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01131383-1.01126295) × R
    5.08799999998644e-05 × 6371000     		dl = 324.156479999136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01131383-1.01126295) × R
    5.08799999998644e-05 × 6371000     		dr = 324.156479999136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35473306--0.35463718) × cos(1.01131383) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.530747669576593 × 6371000     		do = 324.207999467388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35473306--0.35463718) × cos(1.01126295) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.530790791210288 × 6371000     		du = 324.234340381151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01131383)-sin(1.01126295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530747669576593-0.530790791210288)×R²
    abs(-0.35463718--0.35473306)×4.31216336953533e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31216336953533e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31216336953533e-05×40589641000000     		ar = 105098.393206415m²