Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29068 / 14167
↖ ↑ ↗
← N 70.918437°
W 20.324707°		 ← 199.70 m → N 70.918437°
W 20.319214°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
N 70.916641°
W 20.324707°		 ← 199.71 m →
39 887 m²		 N 70.916641°
W 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443550109863281 y=0.216178894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443550109863281 × 216)
    floor (0.443550109863281 × 65536)
    floor (29068.5)     		tx = 29068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216178894042969 × 216)
    floor (0.216178894042969 × 65536)
    floor (14167.5)     		ty = 14167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29068 / 14167 ti = "16/29068/14167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29068/14167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29068 ÷ 216
    29068 ÷ 65536     		x = 0.44354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14167 ÷ 216
    14167 ÷ 65536     		y = 0.216171264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35473306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216171264648438 × 2 - 1) × π
    0.567657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78334853966533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35473306} λ = -0.35473306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78334853966533))-π/2
    2×atan(5.94974606006046)-π/2
    2×1.40427827622062-π/2
    2.80855655244125-1.57079632675     		φ = 1.23776023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35473306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23776023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.918437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29068 KachelY 14167 -0.35473306 1.23776023 -20.324707 70.918437
    Oben rechts KachelX + 1 29069 KachelY 14167 -0.35463718 1.23776023 -20.319214 70.918437
    Unten links KachelX 29068 KachelY + 1 14168 -0.35473306 1.23772888 -20.324707 70.916641
    Unten rechts KachelX + 1 29069 KachelY + 1 14168 -0.35463718 1.23772888 -20.319214 70.916641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23776023-1.23772888) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23776023-1.23772888) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35473306--0.35463718) × cos(1.23776023) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.32691380661484 × 6371000     		do = 199.695782603094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35473306--0.35463718) × cos(1.23772888) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.326943433902064 × 6371000     		du = 199.713880475343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23776023)-sin(1.23772888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32691380661484-0.326943433902064)×R²
    abs(-0.35463718--0.35473306)×2.96272872240544e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.96272872240544e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.96272872240544e-05×40589641000000     		ar = 39887.215755559m²