Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29066 / 43226
↖ ↑ ↗
← S 49.703168°
W 20.335693°		 ← 395.03 m → S 49.703168°
W 20.330200°		 →
↑
395 m
↓
↑
395 m
↓
S 49.706720°
W 20.335693°		 ← 395 m →
156 030 m²		 S 49.706720°
W 20.330200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443519592285156 y=0.659584045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443519592285156 × 216)
    floor (0.443519592285156 × 65536)
    floor (29066.5)     		tx = 29066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659584045410156 × 216)
    floor (0.659584045410156 × 65536)
    floor (43226.5)     		ty = 43226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29066 / 43226 ti = "16/29066/43226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29066/43226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29066 ÷ 216
    29066 ÷ 65536     		x = 0.443511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43226 ÷ 216
    43226 ÷ 65536     		y = 0.659576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.11297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35492480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.31915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00264819245309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35492480} λ = -0.35492480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00264819245309))-π/2
    2×atan(0.3669065144289)-π/2
    2×0.351656200712664-π/2
    0.703312401425328-1.57079632675     		φ = -0.86748393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35492480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86748393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.703168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29066 KachelY 43226 -0.35492480 -0.86748393 -20.335693 -49.703168
    Oben rechts KachelX + 1 29067 KachelY 43226 -0.35482893 -0.86748393 -20.330200 -49.703168
    Unten links KachelX 29066 KachelY + 1 43227 -0.35492480 -0.86754593 -20.335693 -49.706720
    Unten rechts KachelX + 1 29067 KachelY + 1 43227 -0.35482893 -0.86754593 -20.330200 -49.706720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86748393--0.86754593) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dl = 395.002000000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86748393--0.86754593) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dr = 395.002000000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35492480--0.35482893) × cos(-0.86748393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646747609248461 × 6371000     		do = 395.02553000569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35492480--0.35482893) × cos(-0.86754593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646700320351821 × 6371000     		du = 394.996646525966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86748393)-sin(-0.86754593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646747609248461-0.646700320351821)×R²
    abs(-0.35482893--0.35492480)×4.72888966404073e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72888966404073e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72888966404073e-05×40589641000000     		ar = 156030.16993738m²