Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29065 / 19352
↖ ↑ ↗
← N 59.108308°
W 20.341187°		 ← 313.62 m → N 59.108308°
W 20.335693°		 →
↑
313.58 m
↓
↑
313.58 m
↓
N 59.105488°
W 20.341187°		 ← 313.65 m →
98 350 m²		 N 59.105488°
W 20.335693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443504333496094 y=0.295295715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443504333496094 × 216)
    floor (0.443504333496094 × 65536)
    floor (29065.5)     		tx = 29065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295295715332031 × 216)
    floor (0.295295715332031 × 65536)
    floor (19352.5)     		ty = 19352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29065 / 19352 ti = "16/29065/19352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29065/19352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29065 ÷ 216
    29065 ÷ 65536     		x = 0.443496704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19352 ÷ 216
    19352 ÷ 65536     		y = 0.2952880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443496704101562 × 2 - 1) × π
    -0.113006591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35502068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2952880859375 × 2 - 1) × π
    0.409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28624289060535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35502068} λ = -0.35502068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28624289060535))-π/2
    2×atan(3.61916338714803)-π/2
    2×1.30121546058622-π/2
    2.60243092117243-1.57079632675     		φ = 1.03163459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35502068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.341187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03163459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.108308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29065 KachelY 19352 -0.35502068 1.03163459 -20.341187 59.108308
    Oben rechts KachelX + 1 29066 KachelY 19352 -0.35492480 1.03163459 -20.335693 59.108308
    Unten links KachelX 29065 KachelY + 1 19353 -0.35502068 1.03158537 -20.341187 59.105488
    Unten rechts KachelX + 1 29066 KachelY + 1 19353 -0.35492480 1.03158537 -20.335693 59.105488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03163459-1.03158537) × R
    4.9219999999961e-05 × 6371000     		dl = 313.580619999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03163459-1.03158537) × R
    4.9219999999961e-05 × 6371000     		dr = 313.580619999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35502068--0.35492480) × cos(1.03163459) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.513416825471166 × 6371000     		do = 313.621427695939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35502068--0.35492480) × cos(1.03158537) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.513459062468605 × 6371000     		du = 313.647228228336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03163459)-sin(1.03158537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513416825471166-0.513459062468605)×R²
    abs(-0.35492480--0.35502068)×4.22369974395487e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.22369974395487e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.22369974395487e-05×40589641000000     		ar = 98349.6470353677m²