Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29064 / 22392
↖ ↑ ↗
← N 75.590406°
W100.173340°		 ← 75.99 m → N 75.590406°
W100.170593°		 →
↑
76.01 m
↓
↑
76.01 m
↓
N 75.589723°
W100.173340°		 ← 75.99 m →
5 776 m²		 N 75.589723°
W100.170593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221744537353516 y=0.170841217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221744537353516 × 217)
    floor (0.221744537353516 × 131072)
    floor (29064.5)     		tx = 29064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170841217041016 × 217)
    floor (0.170841217041016 × 131072)
    floor (22392.5)     		ty = 22392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29064 / 22392 ti = "17/29064/22392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29064/22392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29064 ÷ 217
    29064 ÷ 131072     		x = 0.22174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22392 ÷ 217
    22392 ÷ 131072     		y = 0.17083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.5565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74835460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17083740234375 × 2 - 1) × π
    0.6583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0681895972077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74835460} λ = -1.74835460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0681895972077))-π/2
    2×atan(7.91048897514954)-π/2
    2×1.44504890038622-π/2
    2.89009780077244-1.57079632675     		φ = 1.31930147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74835460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.173340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31930147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.590406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29064 KachelY 22392 -1.74835460 1.31930147 -100.173340 75.590406
    Oben rechts KachelX + 1 29065 KachelY 22392 -1.74830667 1.31930147 -100.170593 75.590406
    Unten links KachelX 29064 KachelY + 1 22393 -1.74835460 1.31928954 -100.173340 75.589723
    Unten rechts KachelX + 1 29065 KachelY + 1 22393 -1.74830667 1.31928954 -100.170593 75.589723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31930147-1.31928954) × R
    1.19300000001044e-05 × 6371000     		dl = 76.0060300006649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31930147-1.31928954) × R
    1.19300000001044e-05 × 6371000     		dr = 76.0060300006649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74835460--1.74830667) × cos(1.31930147) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.24885206760835 × 6371000     		do = 75.9899725346294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74835460--1.74830667) × cos(1.31928954) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.248863622290805 × 6371000     		du = 75.9935008959199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31930147)-sin(1.31928954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24885206760835-0.248863622290805)×R²
    abs(-1.74830667--1.74835460)×1.15546824550339e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.15546824550339e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.15546824550339e-05×40589641000000     		ar = 5775.83022072642m²