Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29063 / 19347
↖ ↑ ↗
← N 59.122407°
W 20.352173°		 ← 313.49 m → N 59.122407°
W 20.346680°		 →
↑
313.52 m
↓
↑
313.52 m
↓
N 59.119587°
W 20.352173°		 ← 313.52 m →
98 289 m²		 N 59.119587°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443473815917969 y=0.295219421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443473815917969 × 216)
    floor (0.443473815917969 × 65536)
    floor (29063.5)     		tx = 29063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295219421386719 × 216)
    floor (0.295219421386719 × 65536)
    floor (19347.5)     		ty = 19347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29063 / 19347 ti = "16/29063/19347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29063/19347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29063 ÷ 216
    29063 ÷ 65536     		x = 0.443466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19347 ÷ 216
    19347 ÷ 65536     		y = 0.295211791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443466186523438 × 2 - 1) × π
    -0.113067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35521243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295211791992188 × 2 - 1) × π
    0.409576416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28672225960155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35521243} λ = -0.35521243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28672225960155))-π/2
    2×atan(3.62089871776663)-π/2
    2×1.30133849333076-π/2
    2.60267698666152-1.57079632675     		φ = 1.03188066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35521243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03188066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.122407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29063 KachelY 19347 -0.35521243 1.03188066 -20.352173 59.122407
    Oben rechts KachelX + 1 29064 KachelY 19347 -0.35511655 1.03188066 -20.346680 59.122407
    Unten links KachelX 29063 KachelY + 1 19348 -0.35521243 1.03183145 -20.352173 59.119587
    Unten rechts KachelX + 1 29064 KachelY + 1 19348 -0.35511655 1.03183145 -20.346680 59.119587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03188066-1.03183145) × R
    4.92099999997997e-05 × 6371000     		dl = 313.516909998724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03188066-1.03183145) × R
    4.92099999997997e-05 × 6371000     		dr = 313.516909998724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35521243--0.35511655) × cos(1.03188066) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.513205647576866 × 6371000     		do = 313.492429366844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35521243--0.35511655) × cos(1.03183145) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.51324788220916 × 6371000     		du = 313.518228454488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03188066)-sin(1.03183145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513205647576866-0.51324788220916)×R²
    abs(-0.35511655--0.35521243)×4.22346322936917e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.22346322936917e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.22346322936917e-05×40589641000000     		ar = 98289.2220081308m²