Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29063 / 14147
↖ ↑ ↗
← N 70.954320°
W 20.352173°		 ← 199.33 m → N 70.954320°
W 20.346680°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
N 70.952528°
W 20.352173°		 ← 199.35 m →
39 739 m²		 N 70.952528°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443473815917969 y=0.215873718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443473815917969 × 216)
    floor (0.443473815917969 × 65536)
    floor (29063.5)     		tx = 29063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215873718261719 × 216)
    floor (0.215873718261719 × 65536)
    floor (14147.5)     		ty = 14147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29063 / 14147 ti = "16/29063/14147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29063/14147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29063 ÷ 216
    29063 ÷ 65536     		x = 0.443466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14147 ÷ 216
    14147 ÷ 65536     		y = 0.215866088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443466186523438 × 2 - 1) × π
    -0.113067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35521243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215866088867188 × 2 - 1) × π
    0.568267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78526601565013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35521243} λ = -0.35521243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78526601565013))-π/2
    2×atan(5.96116549999838)-π/2
    2×1.40459141708083-π/2
    2.80918283416165-1.57079632675     		φ = 1.23838651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35521243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23838651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.954320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29063 KachelY 14147 -0.35521243 1.23838651 -20.352173 70.954320
    Oben rechts KachelX + 1 29064 KachelY 14147 -0.35511655 1.23838651 -20.346680 70.954320
    Unten links KachelX 29063 KachelY + 1 14148 -0.35521243 1.23835522 -20.352173 70.952528
    Unten rechts KachelX + 1 29064 KachelY + 1 14148 -0.35511655 1.23835522 -20.346680 70.952528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23838651-1.23835522) × R
    3.12899999999061e-05 × 6371000     		dl = 199.348589999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23838651-1.23835522) × R
    3.12899999999061e-05 × 6371000     		dr = 199.348589999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35521243--0.35511655) × cos(1.23838651) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.326321874022815 × 6371000     		do = 199.33419970331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35521243--0.35511655) × cos(1.23835522) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.326351451008196 × 6371000     		du = 199.352266848604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23838651)-sin(1.23835522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326321874022815-0.326351451008196)×R²
    abs(-0.35511655--0.35521243)×2.9576985380364e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.9576985380364e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.9576985380364e-05×40589641000000     		ar = 39738.7924825752m²