Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29061 / 14168
↖ ↑ ↗
← N 70.916641°
W 20.363159°		 ← 199.69 m → N 70.916641°
W 20.357666°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 70.914845°
W 20.363159°		 ← 199.71 m →
39 874 m²		 N 70.914845°
W 20.357666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443443298339844 y=0.216194152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443443298339844 × 216)
    floor (0.443443298339844 × 65536)
    floor (29061.5)     		tx = 29061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216194152832031 × 216)
    floor (0.216194152832031 × 65536)
    floor (14168.5)     		ty = 14168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29061 / 14168 ti = "16/29061/14168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29061/14168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29061 ÷ 216
    29061 ÷ 65536     		x = 0.443435668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14168 ÷ 216
    14168 ÷ 65536     		y = 0.2161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443435668945312 × 2 - 1) × π
    -0.113128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35540417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2161865234375 × 2 - 1) × π
    0.567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78325266586609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35540417} λ = -0.35540417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78325266586609))-π/2
    2×atan(5.94917566264469)-π/2
    2×1.40426260427612-π/2
    2.80852520855225-1.57079632675     		φ = 1.23772888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35540417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.363159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23772888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.916641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29061 KachelY 14168 -0.35540417 1.23772888 -20.363159 70.916641
    Oben rechts KachelX + 1 29062 KachelY 14168 -0.35530830 1.23772888 -20.357666 70.916641
    Unten links KachelX 29061 KachelY + 1 14169 -0.35540417 1.23769754 -20.363159 70.914845
    Unten rechts KachelX + 1 29062 KachelY + 1 14169 -0.35530830 1.23769754 -20.357666 70.914845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23772888-1.23769754) × R
    3.13399999998243e-05 × 6371000     		dl = 199.667139998881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23772888-1.23769754) × R
    3.13399999998243e-05 × 6371000     		dr = 199.667139998881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35540417--0.35530830) × cos(1.23772888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326943433902064 × 6371000     		do = 199.69305090918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35540417--0.35530830) × cos(1.23769754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326973051417624 × 6371000     		du = 199.711140925462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23772888)-sin(1.23769754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326943433902064-0.326973051417624)×R²
    abs(-0.35530830--0.35540417)×2.96175155599099e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96175155599099e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96175155599099e-05×40589641000000     		ar = 39873.9463465811m²