Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29061 / 14146
↖ ↑ ↗
← N 70.956113°
W 20.363159°		 ← 199.30 m → N 70.956113°
W 20.357666°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 70.954320°
W 20.363159°		 ← 199.31 m →
39 718 m²		 N 70.954320°
W 20.357666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443443298339844 y=0.215858459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443443298339844 × 216)
    floor (0.443443298339844 × 65536)
    floor (29061.5)     		tx = 29061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215858459472656 × 216)
    floor (0.215858459472656 × 65536)
    floor (14146.5)     		ty = 14146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29061 / 14146 ti = "16/29061/14146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29061/14146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29061 ÷ 216
    29061 ÷ 65536     		x = 0.443435668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14146 ÷ 216
    14146 ÷ 65536     		y = 0.215850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443435668945312 × 2 - 1) × π
    -0.113128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35540417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215850830078125 × 2 - 1) × π
    0.56829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78536188944937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35540417} λ = -0.35540417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78536188944937))-π/2
    2×atan(5.96173704698052)-π/2
    2×1.40460705923106-π/2
    2.80921411846212-1.57079632675     		φ = 1.23841779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35540417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.363159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23841779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.956113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29061 KachelY 14146 -0.35540417 1.23841779 -20.363159 70.956113
    Oben rechts KachelX + 1 29062 KachelY 14146 -0.35530830 1.23841779 -20.357666 70.956113
    Unten links KachelX 29061 KachelY + 1 14147 -0.35540417 1.23838651 -20.363159 70.954320
    Unten rechts KachelX + 1 29062 KachelY + 1 14147 -0.35530830 1.23838651 -20.357666 70.954320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23841779-1.23838651) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23841779-1.23838651) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35540417--0.35530830) × cos(1.23841779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326292306170634 × 6371000     		do = 199.295350054114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35540417--0.35530830) × cos(1.23838651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326321874022815 × 6371000     		du = 199.313409736612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23841779)-sin(1.23838651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326292306170634-0.326321874022815)×R²
    abs(-0.35530830--0.35540417)×2.95678521812781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95678521812781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95678521812781e-05×40589641000000     		ar = 39718.3494340067m²