Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29060 / 43268
↖ ↑ ↗
← S 49.852152°
W 20.368652°		 ← 393.85 m → S 49.852152°
W 20.363159°		 →
↑
393.79 m
↓
↑
393.79 m
↓
S 49.855693°
W 20.368652°		 ← 393.83 m →
155 091 m²		 S 49.855693°
W 20.363159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443428039550781 y=0.660224914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443428039550781 × 216)
    floor (0.443428039550781 × 65536)
    floor (29060.5)     		tx = 29060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660224914550781 × 216)
    floor (0.660224914550781 × 65536)
    floor (43268.5)     		ty = 43268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29060 / 43268 ti = "16/29060/43268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29060/43268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29060 ÷ 216
    29060 ÷ 65536     		x = 0.44342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43268 ÷ 216
    43268 ÷ 65536     		y = 0.66021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35550005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.3204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35550005} λ = -0.35550005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00667489202118))-π/2
    2×atan(0.365432062705049)-π/2
    2×0.35035607050364-π/2
    0.70071214100728-1.57079632675     		φ = -0.87008419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35550005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.368652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87008419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.852152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29060 KachelY 43268 -0.35550005 -0.87008419 -20.368652 -49.852152
    Oben rechts KachelX + 1 29061 KachelY 43268 -0.35540417 -0.87008419 -20.363159 -49.852152
    Unten links KachelX 29060 KachelY + 1 43269 -0.35550005 -0.87014600 -20.368652 -49.855693
    Unten rechts KachelX + 1 29061 KachelY + 1 43269 -0.35540417 -0.87014600 -20.363159 -49.855693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87008419--0.87014600) × R
    6.180999999994e-05 × 6371000     		dl = 393.791509999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87008419--0.87014600) × R
    6.180999999994e-05 × 6371000     		dr = 393.791509999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35550005--0.35540417) × cos(-0.87008419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644762196101618 × 6371000     		do = 393.853941736693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35550005--0.35540417) × cos(-0.87014600) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644714948343031 × 6371000     		du = 393.825080373433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87008419)-sin(-0.87014600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644762196101618-0.644714948343031)×R²
    abs(-0.35540417--0.35550005)×4.72477585873321e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72477585873321e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72477585873321e-05×40589641000000     		ar = 155090.655805163m²