Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29059 / 19330
↖ ↑ ↗
← N 59.170299°
W 20.374145°		 ← 313.02 m → N 59.170299°
W 20.368652°		 →
↑
313.07 m
↓
↑
313.07 m
↓
N 59.167483°
W 20.374145°		 ← 313.05 m →
98 002 m²		 N 59.167483°
W 20.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443412780761719 y=0.294960021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443412780761719 × 216)
    floor (0.443412780761719 × 65536)
    floor (29059.5)     		tx = 29059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294960021972656 × 216)
    floor (0.294960021972656 × 65536)
    floor (19330.5)     		ty = 19330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29059 / 19330 ti = "16/29059/19330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29059/19330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29059 ÷ 216
    29059 ÷ 65536     		x = 0.443405151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19330 ÷ 216
    19330 ÷ 65536     		y = 0.294952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443405151367188 × 2 - 1) × π
    -0.113189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35559592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294952392578125 × 2 - 1) × π
    0.41009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28835211418863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35559592} λ = -0.35559592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28835211418863))-π/2
    2×atan(3.62680506808975)-π/2
    2×1.30175642619107-π/2
    2.60351285238215-1.57079632675     		φ = 1.03271653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35559592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.374145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03271653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.170299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29059 KachelY 19330 -0.35559592 1.03271653 -20.374145 59.170299
    Oben rechts KachelX + 1 29060 KachelY 19330 -0.35550005 1.03271653 -20.368652 59.170299
    Unten links KachelX 29059 KachelY + 1 19331 -0.35559592 1.03266739 -20.374145 59.167483
    Unten rechts KachelX + 1 29060 KachelY + 1 19331 -0.35550005 1.03266739 -20.368652 59.167483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03271653-1.03266739) × R
    4.91400000000031e-05 × 6371000     		dl = 313.07094000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03271653-1.03266739) × R
    4.91400000000031e-05 × 6371000     		dr = 313.07094000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35559592--0.35550005) × cos(1.03271653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512488069850457 × 6371000     		do = 313.021445335558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35559592--0.35550005) × cos(1.03266739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512530265471795 × 6371000     		du = 313.047217905019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03271653)-sin(1.03266739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512488069850457-0.512530265471795)×R²
    abs(-0.35550005--0.35559592)×4.21956213373376e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21956213373376e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21956213373376e-05×40589641000000     		ar = 98001.9524723891m²