Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29058 / 43166
↖ ↑ ↗
← S 49.489538°
W 20.379639°		 ← 396.80 m → S 49.489538°
W 20.374145°		 →
↑
396.79 m
↓
↑
396.79 m
↓
S 49.493107°
W 20.379639°		 ← 396.77 m →
157 439 m²		 S 49.493107°
W 20.374145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443397521972656 y=0.658668518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443397521972656 × 216)
    floor (0.443397521972656 × 65536)
    floor (29058.5)     		tx = 29058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658668518066406 × 216)
    floor (0.658668518066406 × 65536)
    floor (43166.5)     		ty = 43166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29058 / 43166 ti = "16/29058/43166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29058/43166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29058 ÷ 216
    29058 ÷ 65536     		x = 0.443389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43166 ÷ 216
    43166 ÷ 65536     		y = 0.658660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.11322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35569180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.31732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.996895764498688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35569180} λ = -0.35569180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996895764498688))-π/2
    2×atan(0.369023199922725)-π/2
    2×0.353520467582994-π/2
    0.707040935165988-1.57079632675     		φ = -0.86375539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35569180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.379639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86375539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.489538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29058 KachelY 43166 -0.35569180 -0.86375539 -20.379639 -49.489538
    Oben rechts KachelX + 1 29059 KachelY 43166 -0.35559592 -0.86375539 -20.374145 -49.489538
    Unten links KachelX 29058 KachelY + 1 43167 -0.35569180 -0.86381767 -20.379639 -49.493107
    Unten rechts KachelX + 1 29059 KachelY + 1 43167 -0.35559592 -0.86381767 -20.374145 -49.493107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86375539--0.86381767) × R
    6.22799999999701e-05 × 6371000     		dl = 396.78587999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86375539--0.86381767) × R
    6.22799999999701e-05 × 6371000     		dr = 396.78587999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35569180--0.35559592) × cos(-0.86375539) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649586879828853 × 6371000     		do = 396.801106932007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35569180--0.35559592) × cos(-0.86381767) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649539527871648 × 6371000     		du = 396.772181918867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86375539)-sin(-0.86381767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649586879828853-0.649539527871648)×R²
    abs(-0.35559592--0.35569180)×4.73519572046222e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73519572046222e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73519572046222e-05×40589641000000     		ar = 157439.33793138m²