Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29057 / 43649
↖ ↑ ↗
← S 51.182786°
W 20.385132°		 ← 382.86 m → S 51.182786°
W 20.379639°		 →
↑
382.90 m
↓
↑
382.90 m
↓
S 51.186230°
W 20.385132°		 ← 382.84 m →
146 592 m²		 S 51.186230°
W 20.379639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443382263183594 y=0.666038513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443382263183594 × 216)
    floor (0.443382263183594 × 65536)
    floor (29057.5)     		tx = 29057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666038513183594 × 216)
    floor (0.666038513183594 × 65536)
    floor (43649.5)     		ty = 43649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29057 / 43649 ti = "16/29057/43649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29057/43649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29057 ÷ 216
    29057 ÷ 65536     		x = 0.443374633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43649 ÷ 216
    43649 ÷ 65536     		y = 0.666030883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443374633789062 × 2 - 1) × π
    -0.113250732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35578767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666030883789062 × 2 - 1) × π
    -0.332061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04320280953166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35578767} λ = -0.35578767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04320280953166))-π/2
    2×atan(0.352324444867619)-π/2
    2×0.338744091619885-π/2
    0.677488183239771-1.57079632675     		φ = -0.89330814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35578767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.385132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89330814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.182786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29057 KachelY 43649 -0.35578767 -0.89330814 -20.385132 -51.182786
    Oben rechts KachelX + 1 29058 KachelY 43649 -0.35569180 -0.89330814 -20.379639 -51.182786
    Unten links KachelX 29057 KachelY + 1 43650 -0.35578767 -0.89336824 -20.385132 -51.186230
    Unten rechts KachelX + 1 29058 KachelY + 1 43650 -0.35569180 -0.89336824 -20.379639 -51.186230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89330814--0.89336824) × R
    6.01000000000074e-05 × 6371000     		dl = 382.897100000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89330814--0.89336824) × R
    6.01000000000074e-05 × 6371000     		dr = 382.897100000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35578767--0.35569180) × cos(-0.89330814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626837925058167 × 6371000     		do = 382.864938397696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35578767--0.35569180) × cos(-0.89336824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626791097030668 × 6371000     		du = 382.836336411207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89330814)-sin(-0.89336824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626837925058167-0.626791097030668)×R²
    abs(-0.35569180--0.35578767)×4.68280274984467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68280274984467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68280274984467e-05×40589641000000     		ar = 146592.398839348m²