Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29057 / 42248
↖ ↑ ↗
← S 46.103709°
W 20.385132°		 ← 423.49 m → S 46.103709°
W 20.379639°		 →
↑
423.48 m
↓
↑
423.48 m
↓
S 46.107517°
W 20.385132°		 ← 423.46 m →
179 335 m²		 S 46.107517°
W 20.379639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443382263183594 y=0.644660949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443382263183594 × 216)
    floor (0.443382263183594 × 65536)
    floor (29057.5)     		tx = 29057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644660949707031 × 216)
    floor (0.644660949707031 × 65536)
    floor (42248.5)     		ty = 42248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29057 / 42248 ti = "16/29057/42248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29057/42248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29057 ÷ 216
    29057 ÷ 65536     		x = 0.443374633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42248 ÷ 216
    42248 ÷ 65536     		y = 0.6446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443374633789062 × 2 - 1) × π
    -0.113250732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35578767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.289306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.908883616796265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35578767} λ = -0.35578767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908883616796265))-π/2
    2×atan(0.402973846245089)-π/2
    2×0.383067405820257-π/2
    0.766134811640514-1.57079632675     		φ = -0.80466152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35578767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.385132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80466152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.103709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29057 KachelY 42248 -0.35578767 -0.80466152 -20.385132 -46.103709
    Oben rechts KachelX + 1 29058 KachelY 42248 -0.35569180 -0.80466152 -20.379639 -46.103709
    Unten links KachelX 29057 KachelY + 1 42249 -0.35578767 -0.80472799 -20.385132 -46.107517
    Unten rechts KachelX + 1 29058 KachelY + 1 42249 -0.35569180 -0.80472799 -20.379639 -46.107517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80466152--0.80472799) × R
    6.64699999999296e-05 × 6371000     		dl = 423.480369999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80466152--0.80472799) × R
    6.64699999999296e-05 × 6371000     		dr = 423.480369999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35578767--0.35569180) × cos(-0.80466152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693355182068798 × 6371000     		do = 423.492865473736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35578767--0.35569180) × cos(-0.80472799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693307282521173 × 6371000     		du = 423.463609015858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80466152)-sin(-0.80472799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693355182068798-0.693307282521173)×R²
    abs(-0.35569180--0.35578767)×4.78995476252964e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78995476252964e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78995476252964e-05×40589641000000     		ar = 179334.720660825m²