Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29057 / 14019
↖ ↑ ↗
← N 71.182439°
W 20.385132°		 ← 197.01 m → N 71.182439°
W 20.379639°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
N 71.180667°
W 20.385132°		 ← 197.03 m →
38 812 m²		 N 71.180667°
W 20.379639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443382263183594 y=0.213920593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443382263183594 × 216)
    floor (0.443382263183594 × 65536)
    floor (29057.5)     		tx = 29057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213920593261719 × 216)
    floor (0.213920593261719 × 65536)
    floor (14019.5)     		ty = 14019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29057 / 14019 ti = "16/29057/14019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29057/14019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29057 ÷ 216
    29057 ÷ 65536     		x = 0.443374633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14019 ÷ 216
    14019 ÷ 65536     		y = 0.213912963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443374633789062 × 2 - 1) × π
    -0.113250732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35578767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213912963867188 × 2 - 1) × π
    0.572174072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79753786195287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35578767} λ = -0.35578767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79753786195287))-π/2
    2×atan(6.03477071903486)-π/2
    2×1.40658212921-π/2
    2.81316425842-1.57079632675     		φ = 1.24236793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35578767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.385132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24236793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.182439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29057 KachelY 14019 -0.35578767 1.24236793 -20.385132 71.182439
    Oben rechts KachelX + 1 29058 KachelY 14019 -0.35569180 1.24236793 -20.379639 71.182439
    Unten links KachelX 29057 KachelY + 1 14020 -0.35578767 1.24233701 -20.385132 71.180667
    Unten rechts KachelX + 1 29058 KachelY + 1 14020 -0.35569180 1.24233701 -20.379639 71.180667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24236793-1.24233701) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dl = 196.991319999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24236793-1.24233701) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dr = 196.991319999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35578767--0.35569180) × cos(1.24236793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322555825644876 × 6371000     		do = 197.013153446138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35578767--0.35569180) × cos(1.24233701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32258509283035 × 6371000     		du = 197.031029485088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24236793)-sin(1.24233701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322555825644876-0.32258509283035)×R²
    abs(-0.35569180--0.35578767)×2.92671854742466e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92671854742466e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92671854742466e-05×40589641000000     		ar = 38811.6418702391m²