Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29055 / 43648
↖ ↑ ↗
← S 51.179343°
W 20.396118°		 ← 382.93 m → S 51.179343°
W 20.390625°		 →
↑
382.90 m
↓
↑
382.90 m
↓
S 51.182786°
W 20.396118°		 ← 382.90 m →
146 619 m²		 S 51.182786°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443351745605469 y=0.666023254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443351745605469 × 216)
    floor (0.443351745605469 × 65536)
    floor (29055.5)     		tx = 29055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666023254394531 × 216)
    floor (0.666023254394531 × 65536)
    floor (43648.5)     		ty = 43648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29055 / 43648 ti = "16/29055/43648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29055/43648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29055 ÷ 216
    29055 ÷ 65536     		x = 0.443344116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43648 ÷ 216
    43648 ÷ 65536     		y = 0.666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443344116210938 × 2 - 1) × π
    -0.113311767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35597942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666015625 × 2 - 1) × π
    -0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35597942} λ = -0.35597942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04310693573242))-π/2
    2×atan(0.352358225170011)-π/2
    2×0.338774141408772-π/2
    0.677548282817545-1.57079632675     		φ = -0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35597942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.396118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29055 KachelY 43648 -0.35597942 -0.89324804 -20.396118 -51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 29056 KachelY 43648 -0.35588354 -0.89324804 -20.390625 -51.179343
    Unten links KachelX 29055 KachelY + 1 43649 -0.35597942 -0.89330814 -20.396118 -51.182786
    Unten rechts KachelX + 1 29056 KachelY + 1 43649 -0.35588354 -0.89330814 -20.390625 -51.182786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89324804--0.89330814) × R
    6.01000000000074e-05 × 6371000     		dl = 382.897100000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89324804--0.89330814) × R
    6.01000000000074e-05 × 6371000     		dr = 382.897100000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35597942--0.35588354) × cos(-0.89324804) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 382.933477828728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35597942--0.35588354) × cos(-0.89330814) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626837925058167 × 6371000     		du = 382.904874241881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89324804)-sin(-0.89330814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.626837925058167)×R²
    abs(-0.35588354--0.35597942)×4.68257633536862e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68257633536862e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68257633536862e-05×40589641000000     		ar = 146618.642082528m²