Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29053 / 43227
↖ ↑ ↗
← S 49.706720°
W 20.407104°		 ← 395 m → S 49.706720°
W 20.401611°		 →
↑
395 m
↓
↑
395 m
↓
S 49.710273°
W 20.407104°		 ← 394.97 m →
156 019 m²		 S 49.710273°
W 20.401611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443321228027344 y=0.659599304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443321228027344 × 216)
    floor (0.443321228027344 × 65536)
    floor (29053.5)     		tx = 29053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659599304199219 × 216)
    floor (0.659599304199219 × 65536)
    floor (43227.5)     		ty = 43227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29053 / 43227 ti = "16/29053/43227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29053/43227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29053 ÷ 216
    29053 ÷ 65536     		x = 0.443313598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43227 ÷ 216
    43227 ÷ 65536     		y = 0.659591674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443313598632812 × 2 - 1) × π
    -0.113372802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35617116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659591674804688 × 2 - 1) × π
    -0.319183349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00274406625233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35617116} λ = -0.35617116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00274406625233))-π/2
    2×atan(0.366871339393605)-π/2
    2×0.351625198770787-π/2
    0.703250397541575-1.57079632675     		φ = -0.86754593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35617116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.407104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86754593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.706720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29053 KachelY 43227 -0.35617116 -0.86754593 -20.407104 -49.706720
    Oben rechts KachelX + 1 29054 KachelY 43227 -0.35607529 -0.86754593 -20.401611 -49.706720
    Unten links KachelX 29053 KachelY + 1 43228 -0.35617116 -0.86760793 -20.407104 -49.710273
    Unten rechts KachelX + 1 29054 KachelY + 1 43228 -0.35607529 -0.86760793 -20.401611 -49.710273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86754593--0.86760793) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dl = 395.002000000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86754593--0.86760793) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dr = 395.002000000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35617116--0.35607529) × cos(-0.86754593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646700320351821 × 6371000     		do = 394.996646525966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35617116--0.35607529) × cos(-0.86760793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646653028969264 × 6371000     		du = 394.967761527874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86754593)-sin(-0.86760793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646700320351821-0.646653028969264)×R²
    abs(-0.35607529--0.35617116)×4.72913825565469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72913825565469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72913825565469e-05×40589641000000     		ar = 156018.760604823m²