Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29049 / 43193
↖ ↑ ↗
← S 49.585787°
W 20.429077°		 ← 395.98 m → S 49.585787°
W 20.423584°		 →
↑
396.02 m
↓
↑
396.02 m
↓
S 49.589349°
W 20.429077°		 ← 395.95 m →
156 810 m²		 S 49.589349°
W 20.423584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443260192871094 y=0.659080505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443260192871094 × 216)
    floor (0.443260192871094 × 65536)
    floor (29049.5)     		tx = 29049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659080505371094 × 216)
    floor (0.659080505371094 × 65536)
    floor (43193.5)     		ty = 43193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29049 / 43193 ti = "16/29049/43193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29049/43193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29049 ÷ 216
    29049 ÷ 65536     		x = 0.443252563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43193 ÷ 216
    43193 ÷ 65536     		y = 0.659072875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443252563476562 × 2 - 1) × π
    -0.113494873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35655466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659072875976562 × 2 - 1) × π
    -0.318145751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.999484357078171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35655466} λ = -0.35655466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999484357078171))-π/2
    2×atan(0.368069184517071)-π/2
    2×0.352680536885889-π/2
    0.705361073771778-1.57079632675     		φ = -0.86543525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35655466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.429077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86543525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.585787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29049 KachelY 43193 -0.35655466 -0.86543525 -20.429077 -49.585787
    Oben rechts KachelX + 1 29050 KachelY 43193 -0.35645879 -0.86543525 -20.423584 -49.585787
    Unten links KachelX 29049 KachelY + 1 43194 -0.35655466 -0.86549741 -20.429077 -49.589349
    Unten rechts KachelX + 1 29050 KachelY + 1 43194 -0.35645879 -0.86549741 -20.423584 -49.589349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86543525--0.86549741) × R
    6.21600000000333e-05 × 6371000     		dl = 396.021360000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86543525--0.86549741) × R
    6.21600000000333e-05 × 6371000     		dr = 396.021360000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35655466--0.35645879) × cos(-0.86543525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648308787543523 × 6371000     		do = 395.979078615103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35655466--0.35645879) × cos(-0.86549741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64826145906491 × 6371000     		du = 395.950170959194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86543525)-sin(-0.86549741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648308787543523-0.64826145906491)×R²
    abs(-0.35645879--0.35655466)×4.73284786132178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73284786132178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73284786132178e-05×40589641000000     		ar = 156810.449270292m²