Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29046 / 43259
↖ ↑ ↗
← S 49.820265°
W 20.445557°		 ← 394.07 m → S 49.820265°
W 20.440064°		 →
↑
394.05 m
↓
↑
394.05 m
↓
S 49.823809°
W 20.445557°		 ← 394.04 m →
155 277 m²		 S 49.823809°
W 20.440064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443214416503906 y=0.660087585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443214416503906 × 216)
    floor (0.443214416503906 × 65536)
    floor (29046.5)     		tx = 29046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660087585449219 × 216)
    floor (0.660087585449219 × 65536)
    floor (43259.5)     		ty = 43259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29046 / 43259 ti = "16/29046/43259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29046/43259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29046 ÷ 216
    29046 ÷ 65536     		x = 0.443206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43259 ÷ 216
    43259 ÷ 65536     		y = 0.660079956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660079956054688 × 2 - 1) × π
    -0.320159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00581202782802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35684228} λ = -0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00581202782802))-π/2
    2×atan(0.365747517024537)-π/2
    2×0.350634333352015-π/2
    0.70126866670403-1.57079632675     		φ = -0.86952766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86952766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.820265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29046 KachelY 43259 -0.35684228 -0.86952766 -20.445557 -49.820265
    Oben rechts KachelX + 1 29047 KachelY 43259 -0.35674641 -0.86952766 -20.440064 -49.820265
    Unten links KachelX 29046 KachelY + 1 43260 -0.35684228 -0.86958951 -20.445557 -49.823809
    Unten rechts KachelX + 1 29047 KachelY + 1 43260 -0.35674641 -0.86958951 -20.440064 -49.823809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86952766--0.86958951) × R
    6.18499999999189e-05 × 6371000     		dl = 394.046349999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86952766--0.86958951) × R
    6.18499999999189e-05 × 6371000     		dr = 394.046349999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35684228--0.35674641) × cos(-0.86952766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645187498424655 × 6371000     		do = 394.072633394665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35684228--0.35674641) × cos(-0.86958951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645140242289256 × 6371000     		du = 394.043769925106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86952766)-sin(-0.86958951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645187498424655-0.645140242289256)×R²
    abs(-0.35674641--0.35684228)×4.72561353989098e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72561353989098e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72561353989098e-05×40589641000000     		ar = 155277.19610107m²