Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29046 / 42206
↖ ↑ ↗
← S 45.943511°
W 20.445557°		 ← 424.72 m → S 45.943511°
W 20.440064°		 →
↑
424.75 m
↓
↑
424.75 m
↓
S 45.947331°
W 20.445557°		 ← 424.69 m →
180 396 m²		 S 45.947331°
W 20.440064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443214416503906 y=0.644020080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443214416503906 × 216)
    floor (0.443214416503906 × 65536)
    floor (29046.5)     		tx = 29046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644020080566406 × 216)
    floor (0.644020080566406 × 65536)
    floor (42206.5)     		ty = 42206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29046 / 42206 ti = "16/29046/42206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29046/42206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29046 ÷ 216
    29046 ÷ 65536     		x = 0.443206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42206 ÷ 216
    42206 ÷ 65536     		y = 0.644012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.28802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.90485691722818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35684228} λ = -0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90485691722818))-π/2
    2×atan(0.404599772218482)-π/2
    2×0.384465397758182-π/2
    0.768930795516363-1.57079632675     		φ = -0.80186553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80186553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.943511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29046 KachelY 42206 -0.35684228 -0.80186553 -20.445557 -45.943511
    Oben rechts KachelX + 1 29047 KachelY 42206 -0.35674641 -0.80186553 -20.440064 -45.943511
    Unten links KachelX 29046 KachelY + 1 42207 -0.35684228 -0.80193220 -20.445557 -45.947331
    Unten rechts KachelX + 1 29047 KachelY + 1 42207 -0.35674641 -0.80193220 -20.440064 -45.947331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80186553--0.80193220) × R
    6.66699999999354e-05 × 6371000     		dl = 424.754569999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80186553--0.80193220) × R
    6.66699999999354e-05 × 6371000     		dr = 424.754569999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35684228--0.35674641) × cos(-0.80186553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695367248475386 × 6371000     		do = 424.721811027308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35684228--0.35674641) × cos(-0.80193220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695319334229882 × 6371000     		du = 424.692545592145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80186553)-sin(-0.80193220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695367248475386-0.695319334229882)×R²
    abs(-0.35674641--0.35684228)×4.79142455042103e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79142455042103e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79142455042103e-05×40589641000000     		ar = 180396.314965699m²