Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29044 / 43220
↖ ↑ ↗
← S 49.681847°
W 20.456543°		 ← 395.24 m → S 49.681847°
W 20.451050°		 →
↑
395.19 m
↓
↑
395.19 m
↓
S 49.685401°
W 20.456543°		 ← 395.21 m →
156 190 m²		 S 49.685401°
W 20.451050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443183898925781 y=0.659492492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443183898925781 × 216)
    floor (0.443183898925781 × 65536)
    floor (29044.5)     		tx = 29044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659492492675781 × 216)
    floor (0.659492492675781 × 65536)
    floor (43220.5)     		ty = 43220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29044 / 43220 ti = "16/29044/43220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29044/43220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29044 ÷ 216
    29044 ÷ 65536     		x = 0.44317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43220 ÷ 216
    43220 ÷ 65536     		y = 0.65948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35703403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.3189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00207294965765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35703403} λ = -0.35703403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00207294965765))-π/2
    2×atan(0.367117635475034)-π/2
    2×0.35184225997357-π/2
    0.70368451994714-1.57079632675     		φ = -0.86711181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35703403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86711181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.681847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29044 KachelY 43220 -0.35703403 -0.86711181 -20.456543 -49.681847
    Oben rechts KachelX + 1 29045 KachelY 43220 -0.35693815 -0.86711181 -20.451050 -49.681847
    Unten links KachelX 29044 KachelY + 1 43221 -0.35703403 -0.86717384 -20.456543 -49.685401
    Unten rechts KachelX + 1 29045 KachelY + 1 43221 -0.35693815 -0.86717384 -20.451050 -49.685401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86711181--0.86717384) × R
    6.20299999999352e-05 × 6371000     		dl = 395.193129999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86711181--0.86717384) × R
    6.20299999999352e-05 × 6371000     		dr = 395.193129999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35703403--0.35693815) × cos(-0.86711181) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.647031381909497 × 6371000     		do = 395.240077245831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35703403--0.35693815) × cos(-0.86717384) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646984085061879 × 6371000     		du = 395.211185896464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86711181)-sin(-0.86717384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647031381909497-0.646984085061879)×R²
    abs(-0.35693815--0.35703403)×4.72968476182833e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72968476182833e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72968476182833e-05×40589641000000     		ar = 156190.454446598m²