Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29043 / 42219
↖ ↑ ↗
← S 45.993145°
W 20.462036°		 ← 424.34 m → S 45.993145°
W 20.456543°		 →
↑
424.37 m
↓
↑
424.37 m
↓
S 45.996962°
W 20.462036°		 ← 424.31 m →
180 073 m²		 S 45.996962°
W 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443168640136719 y=0.644218444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443168640136719 × 216)
    floor (0.443168640136719 × 65536)
    floor (29043.5)     		tx = 29043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644218444824219 × 216)
    floor (0.644218444824219 × 65536)
    floor (42219.5)     		ty = 42219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29043 / 42219 ti = "16/29043/42219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29043/42219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29043 ÷ 216
    29043 ÷ 65536     		x = 0.443161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42219 ÷ 216
    42219 ÷ 65536     		y = 0.644210815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443161010742188 × 2 - 1) × π
    -0.113677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35712990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644210815429688 × 2 - 1) × π
    -0.288421630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.906103276618301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35712990} λ = -0.35712990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906103276618301))-π/2
    2×atan(0.404095809617635)-π/2
    2×0.384032253076316-π/2
    0.768064506152633-1.57079632675     		φ = -0.80273182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35712990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.462036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80273182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.993145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29043 KachelY 42219 -0.35712990 -0.80273182 -20.462036 -45.993145
    Oben rechts KachelX + 1 29044 KachelY 42219 -0.35703403 -0.80273182 -20.456543 -45.993145
    Unten links KachelX 29043 KachelY + 1 42220 -0.35712990 -0.80279843 -20.462036 -45.996962
    Unten rechts KachelX + 1 29044 KachelY + 1 42220 -0.35703403 -0.80279843 -20.456543 -45.996962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80273182--0.80279843) × R
    6.6609999999967e-05 × 6371000     		dl = 424.37230999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80273182--0.80279843) × R
    6.6609999999967e-05 × 6371000     		dr = 424.37230999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35712990--0.35703403) × cos(-0.80273182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694744424364485 × 6371000     		do = 424.341397677508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35712990--0.35703403) × cos(-0.80279843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694696513135207 × 6371000     		du = 424.312134084619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80273182)-sin(-0.80279843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694744424364485-0.694696513135207)×R²
    abs(-0.35703403--0.35712990)×4.79112292783856e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79112292783856e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79112292783856e-05×40589641000000     		ar = 180072.5298984m²