Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29042 / 42221
↖ ↑ ↗
← S 46.000778°
W 20.467530°		 ← 424.33 m → S 46.000778°
W 20.462036°		 →
↑
424.24 m
↓
↑
424.24 m
↓
S 46.004593°
W 20.467530°		 ← 424.30 m →
180 012 m²		 S 46.004593°
W 20.462036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443153381347656 y=0.644248962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443153381347656 × 216)
    floor (0.443153381347656 × 65536)
    floor (29042.5)     		tx = 29042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644248962402344 × 216)
    floor (0.644248962402344 × 65536)
    floor (42221.5)     		ty = 42221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29042 / 42221 ti = "16/29042/42221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29042/42221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29042 ÷ 216
    29042 ÷ 65536     		x = 0.443145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42221 ÷ 216
    42221 ÷ 65536     		y = 0.644241333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.11370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35722578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644241333007812 × 2 - 1) × π
    -0.288482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.906295024216782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35722578} λ = -0.35722578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906295024216782))-π/2
    2×atan(0.404018332644834)-π/2
    2×0.383965649882013-π/2
    0.767931299764026-1.57079632675     		φ = -0.80286503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35722578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.467530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80286503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.000778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29042 KachelY 42221 -0.35722578 -0.80286503 -20.467530 -46.000778
    Oben rechts KachelX + 1 29043 KachelY 42221 -0.35712990 -0.80286503 -20.462036 -46.000778
    Unten links KachelX 29042 KachelY + 1 42222 -0.35722578 -0.80293162 -20.467530 -46.004593
    Unten rechts KachelX + 1 29043 KachelY + 1 42222 -0.35712990 -0.80293162 -20.462036 -46.004593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80286503--0.80293162) × R
    6.65899999999775e-05 × 6371000     		dl = 424.244889999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80286503--0.80293162) × R
    6.65899999999775e-05 × 6371000     		dr = 424.244889999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35722578--0.35712990) × cos(-0.80286503) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.694648606017127 × 6371000     		do = 424.327129065466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35722578--0.35712990) × cos(-0.80293162) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.694600703011847 × 6371000     		du = 424.297867443794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80286503)-sin(-0.80293162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694648606017127-0.694600703011847)×R²
    abs(-0.35712990--0.35722578)×4.79030052802365e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79030052802365e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79030052802365e-05×40589641000000     		ar = 180012.40921401m²