Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29041 / 42741
↖ ↑ ↗
← S 47.949466°
W 20.473022°		 ← 409.10 m → S 47.949466°
W 20.467530°		 →
↑
409.15 m
↓
↑
409.15 m
↓
S 47.953145°
W 20.473022°		 ← 409.07 m →
167 374 m²		 S 47.953145°
W 20.467530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443138122558594 y=0.652183532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443138122558594 × 216)
    floor (0.443138122558594 × 65536)
    floor (29041.5)     		tx = 29041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652183532714844 × 216)
    floor (0.652183532714844 × 65536)
    floor (42741.5)     		ty = 42741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29041 / 42741 ti = "16/29041/42741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29041/42741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29041 ÷ 216
    29041 ÷ 65536     		x = 0.443130493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42741 ÷ 216
    42741 ÷ 65536     		y = 0.652175903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443130493164062 × 2 - 1) × π
    -0.113739013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35732165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652175903320312 × 2 - 1) × π
    -0.304351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.95614939982164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35732165} λ = -0.35732165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95614939982164))-π/2
    2×atan(0.384370095636804)-π/2
    2×0.366960136684766-π/2
    0.733920273369531-1.57079632675     		φ = -0.83687605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35732165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.473022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83687605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.949466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29041 KachelY 42741 -0.35732165 -0.83687605 -20.473022 -47.949466
    Oben rechts KachelX + 1 29042 KachelY 42741 -0.35722578 -0.83687605 -20.467530 -47.949466
    Unten links KachelX 29041 KachelY + 1 42742 -0.35732165 -0.83694027 -20.473022 -47.953145
    Unten rechts KachelX + 1 29042 KachelY + 1 42742 -0.35722578 -0.83694027 -20.467530 -47.953145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83687605--0.83694027) × R
    6.42200000000592e-05 × 6371000     		dl = 409.145620000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83687605--0.83694027) × R
    6.42200000000592e-05 × 6371000     		dr = 409.145620000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35732165--0.35722578) × cos(-0.83687605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669785793028873 × 6371000     		do = 409.096970901778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35732165--0.35722578) × cos(-0.83694027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669738104806137 × 6371000     		du = 409.067843518558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83687605)-sin(-0.83694027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669785793028873-0.669738104806137)×R²
    abs(-0.35722578--0.35732165)×4.76882227357089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76882227357089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76882227357089e-05×40589641000000     		ar = 167374.275186917m²