Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29040 / 14024
↖ ↑ ↗
← N 71.173578°
W 20.478515°		 ← 197.10 m → N 71.173578°
W 20.473022°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
N 71.171805°
W 20.478515°		 ← 197.12 m →
38 854 m²		 N 71.171805°
W 20.473022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443122863769531 y=0.213996887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443122863769531 × 216)
    floor (0.443122863769531 × 65536)
    floor (29040.5)     		tx = 29040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213996887207031 × 216)
    floor (0.213996887207031 × 65536)
    floor (14024.5)     		ty = 14024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29040 / 14024 ti = "16/29040/14024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29040/14024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29040 ÷ 216
    29040 ÷ 65536     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14024 ÷ 216
    14024 ÷ 65536     		y = 0.2139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2139892578125 × 2 - 1) × π
    0.572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79705849295667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79705849295667))-π/2
    2×atan(6.03187853032116)-π/2
    2×1.40650480003689-π/2
    2.81300960007377-1.57079632675     		φ = 1.24221327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24221327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.173578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29040 KachelY 14024 -0.35741752 1.24221327 -20.478515 71.173578
    Oben rechts KachelX + 1 29041 KachelY 14024 -0.35732165 1.24221327 -20.473022 71.173578
    Unten links KachelX 29040 KachelY + 1 14025 -0.35741752 1.24218233 -20.478515 71.171805
    Unten rechts KachelX + 1 29041 KachelY + 1 14025 -0.35732165 1.24218233 -20.473022 71.171805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24221327-1.24218233) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24221327-1.24218233) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35732165) × cos(1.24221327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322702215277938 × 6371000     		do = 197.102566443667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35732165) × cos(1.24218233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322731499850313 × 6371000     		du = 197.120453102324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24221327)-sin(1.24218233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322702215277938-0.322731499850313)×R²
    abs(-0.35732165--0.35741752)×2.92845723754986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92845723754986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92845723754986e-05×40589641000000     		ar = 38854.3724490068m²