Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29039 / 14013
↖ ↑ ↗
← N 71.193067°
W 20.484009°		 ← 196.93 m → N 71.193067°
W 20.478515°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
N 71.191296°
W 20.484009°		 ← 196.94 m →
38 782 m²		 N 71.191296°
W 20.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443107604980469 y=0.213829040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443107604980469 × 216)
    floor (0.443107604980469 × 65536)
    floor (29039.5)     		tx = 29039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213829040527344 × 216)
    floor (0.213829040527344 × 65536)
    floor (14013.5)     		ty = 14013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29039 / 14013 ti = "16/29039/14013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29039/14013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29039 ÷ 216
    29039 ÷ 65536     		x = 0.443099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14013 ÷ 216
    14013 ÷ 65536     		y = 0.213821411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443099975585938 × 2 - 1) × π
    -0.113800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35751340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213821411132812 × 2 - 1) × π
    0.572357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79811310474831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35751340} λ = -0.35751340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79811310474831))-π/2
    2×atan(6.03824317607031)-π/2
    2×1.40667487791349-π/2
    2.81334975582697-1.57079632675     		φ = 1.24255343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35751340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.484009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24255343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.193067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29039 KachelY 14013 -0.35751340 1.24255343 -20.484009 71.193067
    Oben rechts KachelX + 1 29040 KachelY 14013 -0.35741752 1.24255343 -20.478515 71.193067
    Unten links KachelX 29039 KachelY + 1 14014 -0.35751340 1.24252252 -20.484009 71.191296
    Unten rechts KachelX + 1 29040 KachelY + 1 14014 -0.35741752 1.24252252 -20.478515 71.191296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24255343-1.24252252) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24255343-1.24252252) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35751340--0.35741752) × cos(1.24255343) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.32238023498927 × 6371000     		do = 196.926443665928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35751340--0.35741752) × cos(1.24252252) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.322409494558392 × 6371000     		du = 196.944316917031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24255343)-sin(1.24252252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32238023498927-0.322409494558392)×R²
    abs(-0.35741752--0.35751340)×2.92595691223085e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.92595691223085e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.92595691223085e-05×40589641000000     		ar = 38782.0137683948m²