Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29036 / 40820
↖ ↑ ↗
← S 40.396764°
W 20.500488°		 ← 465.21 m → S 40.396764°
W 20.494995°		 →
↑
465.21 m
↓
↑
465.21 m
↓
S 40.400948°
W 20.500488°		 ← 465.18 m →
216 413 m²		 S 40.400948°
W 20.494995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443061828613281 y=0.622871398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443061828613281 × 216)
    floor (0.443061828613281 × 65536)
    floor (29036.5)     		tx = 29036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622871398925781 × 216)
    floor (0.622871398925781 × 65536)
    floor (40820.5)     		ty = 40820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29036 / 40820 ti = "16/29036/40820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29036/40820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29036 ÷ 216
    29036 ÷ 65536     		x = 0.44305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40820 ÷ 216
    40820 ÷ 65536     		y = 0.62286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.771975831481384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35780102} λ = -0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771975831481384))-π/2
    2×atan(0.462099135700305)-π/2
    2×0.432869891263674-π/2
    0.865739782527348-1.57079632675     		φ = -0.70505654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70505654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.396764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29036 KachelY 40820 -0.35780102 -0.70505654 -20.500488 -40.396764
    Oben rechts KachelX + 1 29037 KachelY 40820 -0.35770514 -0.70505654 -20.494995 -40.396764
    Unten links KachelX 29036 KachelY + 1 40821 -0.35780102 -0.70512956 -20.500488 -40.400948
    Unten rechts KachelX + 1 29037 KachelY + 1 40821 -0.35770514 -0.70512956 -20.494995 -40.400948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70505654--0.70512956) × R
    7.30200000000902e-05 × 6371000     		dl = 465.210420000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70505654--0.70512956) × R
    7.30200000000902e-05 × 6371000     		dr = 465.210420000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35780102--0.35770514) × cos(-0.70505654) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.76157491071201 × 6371000     		do = 465.209161339533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35780102--0.35770514) × cos(-0.70512956) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.761527586107215 × 6371000     		du = 465.180253034653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70505654)-sin(-0.70512956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76157491071201-0.761527586107215)×R²
    abs(-0.35770514--0.35780102)×4.73246047953957e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73246047953957e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73246047953957e-05×40589641000000     		ar = 216413.425208352m²