Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29034 / 42772
↖ ↑ ↗
← S 48.063397°
W 20.511475°		 ← 408.24 m → S 48.063397°
W 20.505981°		 →
↑
408.19 m
↓
↑
408.19 m
↓
S 48.067068°
W 20.511475°		 ← 408.21 m →
166 632 m²		 S 48.067068°
W 20.505981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443031311035156 y=0.652656555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443031311035156 × 216)
    floor (0.443031311035156 × 65536)
    floor (29034.5)     		tx = 29034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652656555175781 × 216)
    floor (0.652656555175781 × 65536)
    floor (42772.5)     		ty = 42772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29034 / 42772 ti = "16/29034/42772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29034/42772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29034 ÷ 216
    29034 ÷ 65536     		x = 0.443023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42772 ÷ 216
    42772 ÷ 65536     		y = 0.65264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.3052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.959121487598083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35799277} λ = -0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959121487598083))-π/2
    2×atan(0.383229409922634)-π/2
    2×0.365965903768813-π/2
    0.731931807537625-1.57079632675     		φ = -0.83886452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83886452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.063397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29034 KachelY 42772 -0.35799277 -0.83886452 -20.511475 -48.063397
    Oben rechts KachelX + 1 29035 KachelY 42772 -0.35789689 -0.83886452 -20.505981 -48.063397
    Unten links KachelX 29034 KachelY + 1 42773 -0.35799277 -0.83892859 -20.511475 -48.067068
    Unten rechts KachelX + 1 29035 KachelY + 1 42773 -0.35789689 -0.83892859 -20.505981 -48.067068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83886452--0.83892859) × R
    6.40699999999716e-05 × 6371000     		dl = 408.189969999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83886452--0.83892859) × R
    6.40699999999716e-05 × 6371000     		dr = 408.189969999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35799277--0.35789689) × cos(-0.83886452) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668307922744667 × 6371000     		do = 408.236883704274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35799277--0.35789689) × cos(-0.83892859) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668260260677115 × 6371000     		du = 408.20776925977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83886452)-sin(-0.83892859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668307922744667-0.668260260677115)×R²
    abs(-0.35789689--0.35799277)×4.76620675520234e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76620675520234e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76620675520234e-05×40589641000000     		ar = 166632.259256988m²