Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29034 / 14010
↖ ↑ ↗
← N 71.198379°
W 20.511475°		 ← 196.87 m → N 71.198379°
W 20.505981°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
N 71.196609°
W 20.511475°		 ← 196.89 m →
38 759 m²		 N 71.196609°
W 20.505981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443031311035156 y=0.213783264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443031311035156 × 216)
    floor (0.443031311035156 × 65536)
    floor (29034.5)     		tx = 29034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213783264160156 × 216)
    floor (0.213783264160156 × 65536)
    floor (14010.5)     		ty = 14010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29034 / 14010 ti = "16/29034/14010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29034/14010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29034 ÷ 216
    29034 ÷ 65536     		x = 0.443023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14010 ÷ 216
    14010 ÷ 65536     		y = 0.213775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213775634765625 × 2 - 1) × π
    0.57244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79840072614603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35799277} λ = -0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79840072614603))-π/2
    2×atan(6.0399801537964)-π/2
    2×1.40672123332967-π/2
    2.81344246665934-1.57079632675     		φ = 1.24264614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24264614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.198379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29034 KachelY 14010 -0.35799277 1.24264614 -20.511475 71.198379
    Oben rechts KachelX + 1 29035 KachelY 14010 -0.35789689 1.24264614 -20.505981 71.198379
    Unten links KachelX 29034 KachelY + 1 14011 -0.35799277 1.24261524 -20.511475 71.196609
    Unten rechts KachelX + 1 29035 KachelY + 1 14011 -0.35789689 1.24261524 -20.505981 71.196609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24264614-1.24261524) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24264614-1.24261524) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35799277--0.35789689) × cos(1.24264614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.322292473366751 × 6371000     		do = 196.872834348925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35799277--0.35789689) × cos(1.24261524) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.322321724393322 × 6371000     		du = 196.890702381797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24264614)-sin(1.24261524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322292473366751-0.322321724393322)×R²
    abs(-0.35789689--0.35799277)×2.9251026570809e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.9251026570809e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.9251026570809e-05×40589641000000     		ar = 38758.9127624788m²