Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29032 / 42744
↖ ↑ ↗
← S 47.960503°
W 20.522461°		 ← 409.01 m → S 47.960503°
W 20.516968°		 →
↑
409.02 m
↓
↑
409.02 m
↓
S 47.964181°
W 20.522461°		 ← 408.98 m →
167 286 m²		 S 47.964181°
W 20.516968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443000793457031 y=0.652229309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443000793457031 × 216)
    floor (0.443000793457031 × 65536)
    floor (29032.5)     		tx = 29032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652229309082031 × 216)
    floor (0.652229309082031 × 65536)
    floor (42744.5)     		ty = 42744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29032 / 42744 ti = "16/29032/42744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29032/42744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29032 ÷ 216
    29032 ÷ 65536     		x = 0.4429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42744 ÷ 216
    42744 ÷ 65536     		y = 0.6522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.95643702121936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35818451} λ = -0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95643702121936))-π/2
    2×atan(0.384259558469844)-π/2
    2×0.366863824608014-π/2
    0.733727649216028-1.57079632675     		φ = -0.83706868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83706868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.960503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29032 KachelY 42744 -0.35818451 -0.83706868 -20.522461 -47.960503
    Oben rechts KachelX + 1 29033 KachelY 42744 -0.35808864 -0.83706868 -20.516968 -47.960503
    Unten links KachelX 29032 KachelY + 1 42745 -0.35818451 -0.83713288 -20.522461 -47.964181
    Unten rechts KachelX + 1 29033 KachelY + 1 42745 -0.35808864 -0.83713288 -20.516968 -47.964181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83706868--0.83713288) × R
    6.41999999999587e-05 × 6371000     		dl = 409.018199999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83706868--0.83713288) × R
    6.41999999999587e-05 × 6371000     		dr = 409.018199999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35818451--0.35808864) × cos(-0.83706868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669642742354945 × 6371000     		do = 409.009597299653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35818451--0.35808864) × cos(-0.83713288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669595060702199 × 6371000     		du = 408.980473929302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83706868)-sin(-0.83713288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669642742354945-0.669595060702199)×R²
    abs(-0.35808864--0.35818451)×4.76816527466006e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76816527466006e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76816527466006e-05×40589641000000     		ar = 167286.413333466m²