Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29032 / 19177
↖ ↑ ↗
← N 59.598316°
W 20.522461°		 ← 309.09 m → N 59.598316°
W 20.516968°		 →
↑
309.12 m
↓
↑
309.12 m
↓
N 59.595536°
W 20.522461°		 ← 309.12 m →
95 552 m²		 N 59.595536°
W 20.516968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443000793457031 y=0.292625427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443000793457031 × 216)
    floor (0.443000793457031 × 65536)
    floor (29032.5)     		tx = 29032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292625427246094 × 216)
    floor (0.292625427246094 × 65536)
    floor (19177.5)     		ty = 19177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29032 / 19177 ti = "16/29032/19177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29032/19177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29032 ÷ 216
    29032 ÷ 65536     		x = 0.4429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19177 ÷ 216
    19177 ÷ 65536     		y = 0.292617797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292617797851562 × 2 - 1) × π
    0.414764404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30302080547237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35818451} λ = -0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30302080547237))-π/2
    2×atan(3.68039765759654)-π/2
    2×1.30549158253667-π/2
    2.61098316507335-1.57079632675     		φ = 1.04018684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04018684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.598316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29032 KachelY 19177 -0.35818451 1.04018684 -20.522461 59.598316
    Oben rechts KachelX + 1 29033 KachelY 19177 -0.35808864 1.04018684 -20.516968 59.598316
    Unten links KachelX 29032 KachelY + 1 19178 -0.35818451 1.04013832 -20.522461 59.595536
    Unten rechts KachelX + 1 29033 KachelY + 1 19178 -0.35808864 1.04013832 -20.516968 59.595536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04018684-1.04013832) × R
    4.85199999999963e-05 × 6371000     		dl = 309.120919999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04018684-1.04013832) × R
    4.85199999999963e-05 × 6371000     		dr = 309.120919999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35818451--0.35808864) × cos(1.04018684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506059116792029 × 6371000     		do = 309.094719433566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35818451--0.35808864) × cos(1.04013832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506100964637836 × 6371000     		du = 309.120279585986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04018684)-sin(1.04013832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506059116792029-0.506100964637836)×R²
    abs(-0.35808864--0.35818451)×4.18478458071858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18478458071858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18478458071858e-05×40589641000000     		ar = 95551.5946458078m²