Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29031 / 43241
↖ ↑ ↗
← S 49.756429°
W 20.527954°		 ← 394.63 m → S 49.756429°
W 20.522461°		 →
↑
394.56 m
↓
↑
394.56 m
↓
S 49.759977°
W 20.527954°		 ← 394.60 m →
155 699 m²		 S 49.759977°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442985534667969 y=0.659812927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442985534667969 × 216)
    floor (0.442985534667969 × 65536)
    floor (29031.5)     		tx = 29031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659812927246094 × 216)
    floor (0.659812927246094 × 65536)
    floor (43241.5)     		ty = 43241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29031 / 43241 ti = "16/29031/43241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29031/43241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29031 ÷ 216
    29031 ÷ 65536     		x = 0.442977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43241 ÷ 216
    43241 ÷ 65536     		y = 0.659805297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442977905273438 × 2 - 1) × π
    -0.114044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35828039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659805297851562 × 2 - 1) × π
    -0.319610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0040862994417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35828039} λ = -0.35828039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0040862994417))-π/2
    2×atan(0.366379242833693)-π/2
    2×0.351191409598442-π/2
    0.702382819196884-1.57079632675     		φ = -0.86841351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35828039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.527954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86841351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.756429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29031 KachelY 43241 -0.35828039 -0.86841351 -20.527954 -49.756429
    Oben rechts KachelX + 1 29032 KachelY 43241 -0.35818451 -0.86841351 -20.522461 -49.756429
    Unten links KachelX 29031 KachelY + 1 43242 -0.35828039 -0.86847544 -20.527954 -49.759977
    Unten rechts KachelX + 1 29032 KachelY + 1 43242 -0.35818451 -0.86847544 -20.522461 -49.759977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86841351--0.86847544) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dl = 394.556029999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86841351--0.86847544) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dr = 394.556029999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35828039--0.35818451) × cos(-0.86841351) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646038335448541 × 6371000     		do = 394.633473345447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35828039--0.35818451) × cos(-0.86847544) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.645991062733224 × 6371000     		du = 394.604596737332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86841351)-sin(-0.86847544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646038335448541-0.645991062733224)×R²
    abs(-0.35818451--0.35828039)×4.72727153169039e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72727153169039e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72727153169039e-05×40589641000000     		ar = 155699.319878283m²