Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29031 / 14055
↖ ↑ ↗
← N 71.118548°
W 20.527954°		 ← 197.68 m → N 71.118548°
W 20.522461°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 71.116771°
W 20.527954°		 ← 197.70 m →
39 069 m²		 N 71.116771°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442985534667969 y=0.214469909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442985534667969 × 216)
    floor (0.442985534667969 × 65536)
    floor (29031.5)     		tx = 29031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214469909667969 × 216)
    floor (0.214469909667969 × 65536)
    floor (14055.5)     		ty = 14055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29031 / 14055 ti = "16/29031/14055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29031/14055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29031 ÷ 216
    29031 ÷ 65536     		x = 0.442977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14055 ÷ 216
    14055 ÷ 65536     		y = 0.214462280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442977905273438 × 2 - 1) × π
    -0.114044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35828039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214462280273438 × 2 - 1) × π
    0.571075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79408640518022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35828039} λ = -0.35828039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79408640518022))-π/2
    2×atan(6.01397787221261)-π/2
    2×1.40602457532121-π/2
    2.81204915064242-1.57079632675     		φ = 1.24125282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35828039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.527954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24125282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.118548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29031 KachelY 14055 -0.35828039 1.24125282 -20.527954 71.118548
    Oben rechts KachelX + 1 29032 KachelY 14055 -0.35818451 1.24125282 -20.522461 71.118548
    Unten links KachelX 29031 KachelY + 1 14056 -0.35828039 1.24122180 -20.527954 71.116771
    Unten rechts KachelX + 1 29032 KachelY + 1 14056 -0.35818451 1.24122180 -20.522461 71.116771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24125282-1.24122180) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24125282-1.24122180) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35828039--0.35818451) × cos(1.24125282) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.323611132745284 × 6371000     		do = 197.678339381918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35828039--0.35818451) × cos(1.24122180) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.323640483408607 × 6371000     		du = 197.696268278048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24125282)-sin(1.24122180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323611132745284-0.323640483408607)×R²
    abs(-0.35818451--0.35828039)×2.93506633229912e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.93506633229912e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.93506633229912e-05×40589641000000     		ar = 39068.6295130728m²