Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29029 / 40853
↖ ↑ ↗
← S 40.534677°
W 20.538941°		 ← 464.25 m → S 40.534677°
W 20.533447°		 →
↑
464.19 m
↓
↑
464.19 m
↓
S 40.538851°
W 20.538941°		 ← 464.23 m →
215 496 m²		 S 40.538851°
W 20.533447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442955017089844 y=0.623374938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442955017089844 × 216)
    floor (0.442955017089844 × 65536)
    floor (29029.5)     		tx = 29029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623374938964844 × 216)
    floor (0.623374938964844 × 65536)
    floor (40853.5)     		ty = 40853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29029 / 40853 ti = "16/29029/40853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29029/40853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29029 ÷ 216
    29029 ÷ 65536     		x = 0.442947387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40853 ÷ 216
    40853 ÷ 65536     		y = 0.623367309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442947387695312 × 2 - 1) × π
    -0.114105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35847214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623367309570312 × 2 - 1) × π
    -0.246734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.775139666856308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35847214} λ = -0.35847214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775139666856308))-π/2
    2×atan(0.460639440443411)-π/2
    2×0.43166637787915-π/2
    0.863332755758301-1.57079632675     		φ = -0.70746357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35847214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.538941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70746357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.534677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29029 KachelY 40853 -0.35847214 -0.70746357 -20.538941 -40.534677
    Oben rechts KachelX + 1 29030 KachelY 40853 -0.35837626 -0.70746357 -20.533447 -40.534677
    Unten links KachelX 29029 KachelY + 1 40854 -0.35847214 -0.70753643 -20.538941 -40.538851
    Unten rechts KachelX + 1 29030 KachelY + 1 40854 -0.35837626 -0.70753643 -20.533447 -40.538851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70746357--0.70753643) × R
    7.28599999999524e-05 × 6371000     		dl = 464.191059999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70746357--0.70753643) × R
    7.28599999999524e-05 × 6371000     		dr = 464.191059999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35847214--0.35837626) × cos(-0.70746357) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.760012765498973 × 6371000     		do = 464.254922623905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35847214--0.35837626) × cos(-0.70753643) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.759965411174313 × 6371000     		du = 464.225996164602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70746357)-sin(-0.70753643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760012765498973-0.759965411174313)×R²
    abs(-0.35837626--0.35847214)×4.7354324659965e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7354324659965e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7354324659965e-05×40589641000000     		ar = 215496.271035894m²