Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29028 / 40804
↖ ↑ ↗
← S 40.329796°
W 20.544434°		 ← 465.62 m → S 40.329796°
W 20.538941°		 →
↑
465.66 m
↓
↑
465.66 m
↓
S 40.333983°
W 20.544434°		 ← 465.59 m →
216 814 m²		 S 40.333983°
W 20.538941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442939758300781 y=0.622627258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442939758300781 × 216)
    floor (0.442939758300781 × 65536)
    floor (29028.5)     		tx = 29028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622627258300781 × 216)
    floor (0.622627258300781 × 65536)
    floor (40804.5)     		ty = 40804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29028 / 40804 ti = "16/29028/40804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29028/40804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29028 ÷ 216
    29028 ÷ 65536     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40804 ÷ 216
    40804 ÷ 65536     		y = 0.62261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770441850693543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770441850693543))-π/2
    2×atan(0.462808530856711)-π/2
    2×0.433454302213644-π/2
    0.866908604427288-1.57079632675     		φ = -0.70388772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70388772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.329796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29028 KachelY 40804 -0.35856801 -0.70388772 -20.544434 -40.329796
    Oben rechts KachelX + 1 29029 KachelY 40804 -0.35847214 -0.70388772 -20.538941 -40.329796
    Unten links KachelX 29028 KachelY + 1 40805 -0.35856801 -0.70396081 -20.544434 -40.333983
    Unten rechts KachelX + 1 29029 KachelY + 1 40805 -0.35847214 -0.70396081 -20.538941 -40.333983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70388772--0.70396081) × R
    7.30899999999979e-05 × 6371000     		dl = 465.656389999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70388772--0.70396081) × R
    7.30899999999979e-05 × 6371000     		dr = 465.656389999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35847214) × cos(-0.70388772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76233187556114 × 6371000     		do = 465.622986273896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35847214) × cos(-0.70396081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76228457067801 × 6371000     		du = 465.594093029819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70388772)-sin(-0.70396081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76233187556114-0.76228457067801)×R²
    abs(-0.35847214--0.35856801)×4.73048831293177e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73048831293177e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73048831293177e-05×40589641000000     		ar = 216813.591824052m²