Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29027 / 43131
↖ ↑ ↗
← S 49.364489°
W 20.549927°		 ← 397.77 m → S 49.364489°
W 20.544434°		 →
↑
397.74 m
↓
↑
397.74 m
↓
S 49.368066°
W 20.549927°		 ← 397.74 m →
158 205 m²		 S 49.368066°
W 20.544434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442924499511719 y=0.658134460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442924499511719 × 216)
    floor (0.442924499511719 × 65536)
    floor (29027.5)     		tx = 29027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658134460449219 × 216)
    floor (0.658134460449219 × 65536)
    floor (43131.5)     		ty = 43131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29027 / 43131 ti = "16/29027/43131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29027/43131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29027 ÷ 216
    29027 ÷ 65536     		x = 0.442916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43131 ÷ 216
    43131 ÷ 65536     		y = 0.658126831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442916870117188 × 2 - 1) × π
    -0.114166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35866388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658126831054688 × 2 - 1) × π
    -0.316253662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.993540181525284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35866388} λ = -0.35866388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993540181525284))-π/2
    2×atan(0.370263567803977)-π/2
    2×0.354611729478869-π/2
    0.709223458957738-1.57079632675     		φ = -0.86157287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35866388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.549927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86157287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.364489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29027 KachelY 43131 -0.35866388 -0.86157287 -20.549927 -49.364489
    Oben rechts KachelX + 1 29028 KachelY 43131 -0.35856801 -0.86157287 -20.544434 -49.364489
    Unten links KachelX 29027 KachelY + 1 43132 -0.35866388 -0.86163530 -20.549927 -49.368066
    Unten rechts KachelX + 1 29028 KachelY + 1 43132 -0.35856801 -0.86163530 -20.544434 -49.368066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86157287--0.86163530) × R
    6.24299999999467e-05 × 6371000     		dl = 397.74152999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86157287--0.86163530) × R
    6.24299999999467e-05 × 6371000     		dr = 397.74152999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35866388--0.35856801) × cos(-0.86157287) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651244673784735 × 6371000     		do = 397.772282025347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35866388--0.35856801) × cos(-0.86163530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651197296397375 × 6371000     		du = 397.743344496573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86157287)-sin(-0.86163530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651244673784735-0.651197296397375)×R²
    abs(-0.35856801--0.35866388)×4.73773873593819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73773873593819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73773873593819e-05×40589641000000     		ar = 158204.801266856m²