Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29025 / 19359
↖ ↑ ↗
← N 77.523715°
W100.280456°		 ← 65.97 m → N 77.523715°
W100.277710°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.523122°
W100.280456°		 ← 65.97 m →
4 354 m²		 N 77.523122°
W100.277710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221446990966797 y=0.147701263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221446990966797 × 217)
    floor (0.221446990966797 × 131072)
    floor (29025.5)     		tx = 29025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147701263427734 × 217)
    floor (0.147701263427734 × 131072)
    floor (19359.5)     		ty = 19359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29025 / 19359 ti = "17/29025/19359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29025/19359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29025 ÷ 217
    29025 ÷ 131072     		x = 0.221443176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19359 ÷ 217
    19359 ÷ 131072     		y = 0.147697448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221443176269531 × 2 - 1) × π
    -0.557113647460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.75022414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147697448730469 × 2 - 1) × π
    0.704605102539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.21358221375533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75022414} λ = -1.75022414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21358221375533))-π/2
    2×atan(9.14842939519453)-π/2
    2×1.46192020237964-π/2
    2.92384040475927-1.57079632675     		φ = 1.35304408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75022414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.280456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35304408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.523715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29025 KachelY 19359 -1.75022414 1.35304408 -100.280456 77.523715
    Oben rechts KachelX + 1 29026 KachelY 19359 -1.75017621 1.35304408 -100.277710 77.523715
    Unten links KachelX 29025 KachelY + 1 19360 -1.75022414 1.35303372 -100.280456 77.523122
    Unten rechts KachelX + 1 29026 KachelY + 1 19360 -1.75017621 1.35303372 -100.277710 77.523122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35304408-1.35303372) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dl = 66.0035600006248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35304408-1.35303372) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dr = 66.0035600006248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75022414--1.75017621) × cos(1.35304408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216035497017581 × 6371000     		do = 65.9690379213879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75022414--1.75017621) × cos(1.35303372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21604561235987 × 6371000     		du = 65.9721267628435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35304408)-sin(1.35303372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216035497017581-0.21604561235987)×R²
    abs(-1.75017621--1.75022414)×1.0115342289424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0115342289424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0115342289424e-05×40589641000000     		ar = 4354.29329002379m²