Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29024 / 14048
↖ ↑ ↗
← N 71.130988°
W 20.566406°		 ← 197.53 m → N 71.130988°
W 20.560913°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
N 71.129211°
W 20.566406°		 ← 197.55 m →
39 027 m²		 N 71.129211°
W 20.560913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442878723144531 y=0.214363098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442878723144531 × 216)
    floor (0.442878723144531 × 65536)
    floor (29024.5)     		tx = 29024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214363098144531 × 216)
    floor (0.214363098144531 × 65536)
    floor (14048.5)     		ty = 14048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29024 / 14048 ti = "16/29024/14048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29024/14048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29024 ÷ 216
    29024 ÷ 65536     		x = 0.44287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14048 ÷ 216
    14048 ÷ 65536     		y = 0.21435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21435546875 × 2 - 1) × π
    0.5712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35895150} λ = -0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7947575217749))-π/2
    2×atan(6.01801530720597)-π/2
    2×1.40613313124947-π/2
    2.81226626249895-1.57079632675     		φ = 1.24146994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24146994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.130988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29024 KachelY 14048 -0.35895150 1.24146994 -20.566406 71.130988
    Oben rechts KachelX + 1 29025 KachelY 14048 -0.35885563 1.24146994 -20.560913 71.130988
    Unten links KachelX 29024 KachelY + 1 14049 -0.35895150 1.24143893 -20.566406 71.129211
    Unten rechts KachelX + 1 29025 KachelY + 1 14049 -0.35885563 1.24143893 -20.560913 71.129211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24146994-1.24143893) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24146994-1.24143893) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35895150--0.35885563) × cos(1.24146994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323405688309846 × 6371000     		do = 197.532239168081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35895150--0.35885563) × cos(1.24143893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323435031689613 × 6371000     		du = 197.550161745574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24146994)-sin(1.24143893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323405688309846-0.323435031689613)×R²
    abs(-0.35885563--0.35895150)×2.93433797674547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93433797674547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93433797674547e-05×40589641000000     		ar = 39027.1699845271m²