Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29023 / 42209
↖ ↑ ↗
← S 45.954969°
W 20.571900°		 ← 424.68 m → S 45.954969°
W 20.566406°		 →
↑
424.63 m
↓
↑
424.63 m
↓
S 45.958787°
W 20.571900°		 ← 424.65 m →
180 324 m²		 S 45.958787°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442863464355469 y=0.644065856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442863464355469 × 216)
    floor (0.442863464355469 × 65536)
    floor (29023.5)     		tx = 29023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644065856933594 × 216)
    floor (0.644065856933594 × 65536)
    floor (42209.5)     		ty = 42209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29023 / 42209 ti = "16/29023/42209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29023/42209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29023 ÷ 216
    29023 ÷ 65536     		x = 0.442855834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42209 ÷ 216
    42209 ÷ 65536     		y = 0.644058227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442855834960938 × 2 - 1) × π
    -0.114288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35904738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644058227539062 × 2 - 1) × π
    -0.288116455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.9051445386259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35904738} λ = -0.35904738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9051445386259))-π/2
    2×atan(0.404483417400349)-π/2
    2×0.384365406843451-π/2
    0.768730813686903-1.57079632675     		φ = -0.80206551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35904738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.571900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80206551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.954969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29023 KachelY 42209 -0.35904738 -0.80206551 -20.571900 -45.954969
    Oben rechts KachelX + 1 29024 KachelY 42209 -0.35895150 -0.80206551 -20.566406 -45.954969
    Unten links KachelX 29023 KachelY + 1 42210 -0.35904738 -0.80213216 -20.571900 -45.958787
    Unten rechts KachelX + 1 29024 KachelY + 1 42210 -0.35895150 -0.80213216 -20.566406 -45.958787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80206551--0.80213216) × R
    6.66499999999459e-05 × 6371000     		dl = 424.627149999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80206551--0.80213216) × R
    6.66499999999459e-05 × 6371000     		dr = 424.627149999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35904738--0.35895150) × cos(-0.80206551) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.695223518031044 × 6371000     		do = 424.678314920283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35904738--0.35895150) × cos(-0.80213216) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.695175608892516 × 6371000     		du = 424.649049552108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80206551)-sin(-0.80213216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695223518031044-0.695175608892516)×R²
    abs(-0.35895150--0.35904738)×4.79091385272579e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79091385272579e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79091385272579e-05×40589641000000     		ar = 180323.729163238m²