Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29023 / 40877
↖ ↑ ↗
← S 40.634799°
W 20.571900°		 ← 463.56 m → S 40.634799°
W 20.566406°		 →
↑
463.49 m
↓
↑
463.49 m
↓
S 40.638967°
W 20.571900°		 ← 463.53 m →
214 849 m²		 S 40.638967°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442863464355469 y=0.623741149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442863464355469 × 216)
    floor (0.442863464355469 × 65536)
    floor (29023.5)     		tx = 29023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623741149902344 × 216)
    floor (0.623741149902344 × 65536)
    floor (40877.5)     		ty = 40877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29023 / 40877 ti = "16/29023/40877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29023/40877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29023 ÷ 216
    29023 ÷ 65536     		x = 0.442855834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40877 ÷ 216
    40877 ÷ 65536     		y = 0.623733520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442855834960938 × 2 - 1) × π
    -0.114288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35904738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623733520507812 × 2 - 1) × π
    -0.247467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.777440638038071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35904738} λ = -0.35904738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777440638038071))-π/2
    2×atan(0.459580740851497)-π/2
    2×0.430792648048824-π/2
    0.861585296097647-1.57079632675     		φ = -0.70921103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35904738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.571900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70921103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.634799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29023 KachelY 40877 -0.35904738 -0.70921103 -20.571900 -40.634799
    Oben rechts KachelX + 1 29024 KachelY 40877 -0.35895150 -0.70921103 -20.566406 -40.634799
    Unten links KachelX 29023 KachelY + 1 40878 -0.35904738 -0.70928378 -20.571900 -40.638967
    Unten rechts KachelX + 1 29024 KachelY + 1 40878 -0.35895150 -0.70928378 -20.566406 -40.638967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70921103--0.70928378) × R
    7.27500000000658e-05 × 6371000     		dl = 463.490250000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70921103--0.70928378) × R
    7.27500000000658e-05 × 6371000     		dr = 463.490250000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35904738--0.35895150) × cos(-0.70921103) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.758875917197343 × 6371000     		do = 463.560477156587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35904738--0.35895150) × cos(-0.70928378) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.758828537825225 × 6371000     		du = 463.531535397008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70921103)-sin(-0.70928378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758875917197343-0.758828537825225)×R²
    abs(-0.35895150--0.35904738)×4.73793721176285e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73793721176285e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73793721176285e-05×40589641000000     		ar = 214849.054430512m²