Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29022 / 19161
↖ ↑ ↗
← N 59.642764°
W 20.577392°		 ← 308.69 m → N 59.642764°
W 20.571900°		 →
↑
308.74 m
↓
↑
308.74 m
↓
N 59.639988°
W 20.577392°		 ← 308.71 m →
95 307 m²		 N 59.639988°
W 20.571900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442848205566406 y=0.292381286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442848205566406 × 216)
    floor (0.442848205566406 × 65536)
    floor (29022.5)     		tx = 29022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292381286621094 × 216)
    floor (0.292381286621094 × 65536)
    floor (19161.5)     		ty = 19161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29022 / 19161 ti = "16/29022/19161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29022/19161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29022 ÷ 216
    29022 ÷ 65536     		x = 0.442840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19161 ÷ 216
    19161 ÷ 65536     		y = 0.292373657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35914325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292373657226562 × 2 - 1) × π
    0.415252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30455478626021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35914325} λ = -0.35914325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30455478626021))-π/2
    2×atan(3.68604764927634)-π/2
    2×1.3058794683262-π/2
    2.6117589366524-1.57079632675     		φ = 1.04096261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35914325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04096261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.642764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29022 KachelY 19161 -0.35914325 1.04096261 -20.577392 59.642764
    Oben rechts KachelX + 1 29023 KachelY 19161 -0.35904738 1.04096261 -20.571900 59.642764
    Unten links KachelX 29022 KachelY + 1 19162 -0.35914325 1.04091415 -20.577392 59.639988
    Unten rechts KachelX + 1 29023 KachelY + 1 19162 -0.35904738 1.04091415 -20.571900 59.639988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04096261-1.04091415) × R
    4.84599999999169e-05 × 6371000     		dl = 308.738659999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04096261-1.04091415) × R
    4.84599999999169e-05 × 6371000     		dr = 308.738659999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35914325--0.35904738) × cos(1.04096261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.505389863891412 × 6371000     		do = 308.685947946832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35914325--0.35904738) × cos(1.04091415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.505431679001664 × 6371000     		du = 308.711488104775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04096261)-sin(1.04091415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505389863891412-0.505431679001664)×R²
    abs(-0.35904738--0.35914325)×4.18151102512532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18151102512532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18151102512532e-05×40589641000000     		ar = 95307.2285652606m²