Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29021 / 14150
↖ ↑ ↗
← N 70.948942°
W 20.582886°		 ← 199.39 m → N 70.948942°
W 20.577392°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 70.947149°
W 20.582886°		 ← 199.41 m →
39 762 m²		 N 70.947149°
W 20.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442832946777344 y=0.215919494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442832946777344 × 216)
    floor (0.442832946777344 × 65536)
    floor (29021.5)     		tx = 29021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215919494628906 × 216)
    floor (0.215919494628906 × 65536)
    floor (14150.5)     		ty = 14150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29021 / 14150 ti = "16/29021/14150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29021/14150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29021 ÷ 216
    29021 ÷ 65536     		x = 0.442825317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14150 ÷ 216
    14150 ÷ 65536     		y = 0.215911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442825317382812 × 2 - 1) × π
    -0.114349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35923913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215911865234375 × 2 - 1) × π
    0.56817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78497839425241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35923913} λ = -0.35923913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78497839425241))-π/2
    2×atan(5.95945118779348)-π/2
    2×1.40454448212381-π/2
    2.80908896424762-1.57079632675     		φ = 1.23829264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35923913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.582886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23829264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.948942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29021 KachelY 14150 -0.35923913 1.23829264 -20.582886 70.948942
    Oben rechts KachelX + 1 29022 KachelY 14150 -0.35914325 1.23829264 -20.577392 70.948942
    Unten links KachelX 29021 KachelY + 1 14151 -0.35923913 1.23826134 -20.582886 70.947149
    Unten rechts KachelX + 1 29022 KachelY + 1 14151 -0.35914325 1.23826134 -20.577392 70.947149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23829264-1.23826134) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23829264-1.23826134) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35923913--0.35914325) × cos(1.23829264) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.326410604020371 × 6371000     		do = 199.388400553522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35923913--0.35914325) × cos(1.23826134) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.326440189499286 × 6371000     		du = 199.406472887104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23829264)-sin(1.23826134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326410604020371-0.326440189499286)×R²
    abs(-0.35914325--0.35923913)×2.95854789152949e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.95854789152949e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.95854789152949e-05×40589641000000     		ar = 39762.3014738461m²