Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29020 / 20388
↖ ↑ ↗
← N 76.898219°
W100.294190°		 ← 69.23 m → N 76.898219°
W100.291443°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.897596°
W100.294190°		 ← 69.24 m →
4 795 m²		 N 76.897596°
W100.291443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221408843994141 y=0.155551910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221408843994141 × 217)
    floor (0.221408843994141 × 131072)
    floor (29020.5)     		tx = 29020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155551910400391 × 217)
    floor (0.155551910400391 × 131072)
    floor (20388.5)     		ty = 20388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29020 / 20388 ti = "17/29020/20388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29020/20388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29020 ÷ 217
    29020 ÷ 131072     		x = 0.221405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20388 ÷ 217
    20388 ÷ 131072     		y = 0.155548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.55718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75046383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155548095703125 × 2 - 1) × π
    0.68890380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1642551440463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75046383} λ = -1.75046383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1642551440463))-π/2
    2×atan(8.70811321060505)-π/2
    2×1.456461716532-π/2
    2.91292343306401-1.57079632675     		φ = 1.34212711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75046383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.294190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34212711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.898219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29020 KachelY 20388 -1.75046383 1.34212711 -100.294190 76.898219
    Oben rechts KachelX + 1 29021 KachelY 20388 -1.75041589 1.34212711 -100.291443 76.898219
    Unten links KachelX 29020 KachelY + 1 20389 -1.75046383 1.34211624 -100.294190 76.897596
    Unten rechts KachelX + 1 29021 KachelY + 1 20389 -1.75041589 1.34211624 -100.291443 76.897596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34212711-1.34211624) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dl = 69.2527700006829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34212711-1.34211624) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dr = 69.2527700006829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75046383--1.75041589) × cos(1.34212711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226681583159561 × 6371000     		do = 69.2343902808349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75046383--1.75041589) × cos(1.34211624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226692170188344 × 6371000     		du = 69.2376238319355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34212711)-sin(1.34211624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226681583159561-0.226692170188344)×R²
    abs(-1.75041589--1.75046383)×1.05870287835375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05870287835375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05870287835375e-05×40589641000000     		ar = 4794.78527231943m²