Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29020 / 14163
↖ ↑ ↗
← N 70.925619°
W 20.588379°		 ← 199.60 m → N 70.925619°
W 20.582886°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
N 70.923824°
W 20.588379°		 ← 199.62 m →
39 843 m²		 N 70.923824°
W 20.582886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442817687988281 y=0.216117858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442817687988281 × 216)
    floor (0.442817687988281 × 65536)
    floor (29020.5)     		tx = 29020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216117858886719 × 216)
    floor (0.216117858886719 × 65536)
    floor (14163.5)     		ty = 14163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29020 / 14163 ti = "16/29020/14163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29020/14163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29020 ÷ 216
    29020 ÷ 65536     		x = 0.44281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14163 ÷ 216
    14163 ÷ 65536     		y = 0.216110229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35933500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216110229492188 × 2 - 1) × π
    0.567779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78373203486229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35933500} λ = -0.35933500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78373203486229))-π/2
    2×atan(5.95202819666387)-π/2
    2×1.4043409498007-π/2
    2.80868189960139-1.57079632675     		φ = 1.23788557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35933500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.588379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23788557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.925619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29020 KachelY 14163 -0.35933500 1.23788557 -20.588379 70.925619
    Oben rechts KachelX + 1 29021 KachelY 14163 -0.35923913 1.23788557 -20.582886 70.925619
    Unten links KachelX 29020 KachelY + 1 14164 -0.35933500 1.23785424 -20.588379 70.923824
    Unten rechts KachelX + 1 29021 KachelY + 1 14164 -0.35923913 1.23785424 -20.582886 70.923824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23788557-1.23785424) × R
    3.13299999998851e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23788557-1.23785424) × R
    3.13299999998851e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35933500--0.35923913) × cos(1.23788557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326795350958961 × 6371000     		do = 199.602603658587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35933500--0.35923913) × cos(1.23785424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326824960628891 × 6371000     		du = 199.620688882854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23788557)-sin(1.23785424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326795350958961-0.326824960628891)×R²
    abs(-0.35923913--0.35933500)×2.96096699297643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96096699297643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96096699297643e-05×40589641000000     		ar = 39843.1692665039m²