Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29019 / 14149
↖ ↑ ↗
← N 70.950735°
W 20.593872°		 ← 199.35 m → N 70.950735°
W 20.588379°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
N 70.948942°
W 20.593872°		 ← 199.37 m →
39 742 m²		 N 70.948942°
W 20.588379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442802429199219 y=0.215904235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442802429199219 × 216)
    floor (0.442802429199219 × 65536)
    floor (29019.5)     		tx = 29019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215904235839844 × 216)
    floor (0.215904235839844 × 65536)
    floor (14149.5)     		ty = 14149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29019 / 14149 ti = "16/29019/14149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29019/14149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29019 ÷ 216
    29019 ÷ 65536     		x = 0.442794799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14149 ÷ 216
    14149 ÷ 65536     		y = 0.215896606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442794799804688 × 2 - 1) × π
    -0.114410400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35943087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215896606445312 × 2 - 1) × π
    0.568206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78507426805165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35943087} λ = -0.35943087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78507426805165))-π/2
    2×atan(5.96002257041012)-π/2
    2×1.40456012852731-π/2
    2.80912025705463-1.57079632675     		φ = 1.23832393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35943087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.593872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23832393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.950735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29019 KachelY 14149 -0.35943087 1.23832393 -20.593872 70.950735
    Oben rechts KachelX + 1 29020 KachelY 14149 -0.35933500 1.23832393 -20.588379 70.950735
    Unten links KachelX 29019 KachelY + 1 14150 -0.35943087 1.23829264 -20.593872 70.948942
    Unten rechts KachelX + 1 29020 KachelY + 1 14150 -0.35933500 1.23829264 -20.588379 70.948942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23832393-1.23829264) × R
    3.12899999999061e-05 × 6371000     		dl = 199.348589999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23832393-1.23829264) × R
    3.12899999999061e-05 × 6371000     		dr = 199.348589999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35943087--0.35933500) × cos(1.23832393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326381027674057 × 6371000     		do = 199.349540063341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35943087--0.35933500) × cos(1.23829264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326410604020371 × 6371000     		du = 199.367604933951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23832393)-sin(1.23829264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326381027674057-0.326410604020371)×R²
    abs(-0.35933500--0.35943087)×2.95763463134535e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95763463134535e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95763463134535e-05×40589641000000     		ar = 39741.8503350334m²