Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29017 / 43392
↖ ↑ ↗
← S 50.289339°
W 20.604858°		 ← 390.24 m → S 50.289339°
W 20.599365°		 →
↑
390.22 m
↓
↑
390.22 m
↓
S 50.292849°
W 20.604858°		 ← 390.21 m →
152 275 m²		 S 50.292849°
W 20.599365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442771911621094 y=0.662117004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442771911621094 × 216)
    floor (0.442771911621094 × 65536)
    floor (29017.5)     		tx = 29017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662117004394531 × 216)
    floor (0.662117004394531 × 65536)
    floor (43392.5)     		ty = 43392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29017 / 43392 ti = "16/29017/43392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29017/43392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29017 ÷ 216
    29017 ÷ 65536     		x = 0.442764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43392 ÷ 216
    43392 ÷ 65536     		y = 0.662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442764282226562 × 2 - 1) × π
    -0.114471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35962262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662109375 × 2 - 1) × π
    -0.32421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01856324312695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35962262} λ = -0.35962262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01856324312695))-π/2
    2×atan(0.361113399792782)-π/2
    2×0.346540889095564-π/2
    0.693081778191129-1.57079632675     		φ = -0.87771455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35962262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.604858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87771455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.289339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29017 KachelY 43392 -0.35962262 -0.87771455 -20.604858 -50.289339
    Oben rechts KachelX + 1 29018 KachelY 43392 -0.35952675 -0.87771455 -20.599365 -50.289339
    Unten links KachelX 29017 KachelY + 1 43393 -0.35962262 -0.87777580 -20.604858 -50.292849
    Unten rechts KachelX + 1 29018 KachelY + 1 43393 -0.35952675 -0.87777580 -20.599365 -50.292849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87771455--0.87777580) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dl = 390.223750000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87771455--0.87777580) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dr = 390.223750000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35962262--0.35952675) × cos(-0.87771455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638910963826672 × 6371000     		do = 390.239002824235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35962262--0.35952675) × cos(-0.87777580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63886384418597 × 6371000     		du = 390.210222723968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87771455)-sin(-0.87777580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638910963826672-0.63886384418597)×R²
    abs(-0.35952675--0.35962262)×4.71196407020313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71196407020313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71196407020313e-05×40589641000000     		ar = 152274.911786839m²