Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29016 / 40889
↖ ↑ ↗
← S 40.684804°
W 20.610351°		 ← 463.16 m → S 40.684804°
W 20.604858°		 →
↑
463.17 m
↓
↑
463.17 m
↓
S 40.688969°
W 20.610351°		 ← 463.14 m →
214 518 m²		 S 40.688969°
W 20.604858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442756652832031 y=0.623924255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442756652832031 × 216)
    floor (0.442756652832031 × 65536)
    floor (29016.5)     		tx = 29016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623924255371094 × 216)
    floor (0.623924255371094 × 65536)
    floor (40889.5)     		ty = 40889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29016 / 40889 ti = "16/29016/40889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29016/40889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29016 ÷ 216
    29016 ÷ 65536     		x = 0.4427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40889 ÷ 216
    40889 ÷ 65536     		y = 0.623916625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623916625976562 × 2 - 1) × π
    -0.247833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.778591123628952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35971849} λ = -0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778591123628952))-π/2
    2×atan(0.459052303869155)-π/2
    2×0.43035627369478-π/2
    0.86071254738956-1.57079632675     		φ = -0.71008378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71008378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.684804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29016 KachelY 40889 -0.35971849 -0.71008378 -20.610351 -40.684804
    Oben rechts KachelX + 1 29017 KachelY 40889 -0.35962262 -0.71008378 -20.604858 -40.684804
    Unten links KachelX 29016 KachelY + 1 40890 -0.35971849 -0.71015648 -20.610351 -40.688969
    Unten rechts KachelX + 1 29017 KachelY + 1 40890 -0.35962262 -0.71015648 -20.604858 -40.688969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71008378--0.71015648) × R
    7.26999999999256e-05 × 6371000     		dl = 463.171699999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71008378--0.71015648) × R
    7.26999999999256e-05 × 6371000     		dr = 463.171699999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35971849--0.35962262) × cos(-0.71008378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758307262695731 × 6371000     		do = 463.16480195672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35971849--0.35962262) × cos(-0.71015648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758259867757814 × 6371000     		du = 463.13585370828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71008378)-sin(-0.71015648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758307262695731-0.758259867757814)×R²
    abs(-0.35962262--0.35971849)×4.73949379171668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73949379171668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73949379171668e-05×40589641000000     		ar = 214518.124791829m²