Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29013 / 14127
↖ ↑ ↗
← N 70.990139°
W 20.626831°		 ← 198.97 m → N 70.990139°
W 20.621338°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
N 70.988349°
W 20.626831°		 ← 198.99 m →
39 603 m²		 N 70.988349°
W 20.621338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442710876464844 y=0.215568542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442710876464844 × 216)
    floor (0.442710876464844 × 65536)
    floor (29013.5)     		tx = 29013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215568542480469 × 216)
    floor (0.215568542480469 × 65536)
    floor (14127.5)     		ty = 14127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29013 / 14127 ti = "16/29013/14127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29013/14127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29013 ÷ 216
    29013 ÷ 65536     		x = 0.442703247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14127 ÷ 216
    14127 ÷ 65536     		y = 0.215560913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442703247070312 × 2 - 1) × π
    -0.114593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36000612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215560913085938 × 2 - 1) × π
    0.568878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78718349163493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36000612} λ = -0.36000612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78718349163493))-π/2
    2×atan(5.97260685744458)-π/2
    2×1.40490399088392-π/2
    2.80980798176784-1.57079632675     		φ = 1.23901166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36000612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.626831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23901166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.990139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29013 KachelY 14127 -0.36000612 1.23901166 -20.626831 70.990139
    Oben rechts KachelX + 1 29014 KachelY 14127 -0.35991024 1.23901166 -20.621338 70.990139
    Unten links KachelX 29013 KachelY + 1 14128 -0.36000612 1.23898042 -20.626831 70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 29014 KachelY + 1 14128 -0.35991024 1.23898042 -20.621338 70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23901166-1.23898042) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23901166-1.23898042) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36000612--0.35991024) × cos(1.23901166) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325730881811528 × 6371000     		do = 198.973191236262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36000612--0.35991024) × cos(1.23898042) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 198.991233400818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23901166)-sin(1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325730881811528-0.325760417901964)×R²
    abs(-0.35991024--0.36000612)×2.95360904363218e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.95360904363218e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.95360904363218e-05×40589641000000     		ar = 39603.4376799515m²