Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29010 / 43393
↖ ↑ ↗
← S 50.292849°
W 20.643311°		 ← 390.25 m → S 50.292849°
W 20.637817°		 →
↑
390.22 m
↓
↑
390.22 m
↓
S 50.296358°
W 20.643311°		 ← 390.22 m →
152 280 m²		 S 50.296358°
W 20.637817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442665100097656 y=0.662132263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442665100097656 × 216)
    floor (0.442665100097656 × 65536)
    floor (29010.5)     		tx = 29010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662132263183594 × 216)
    floor (0.662132263183594 × 65536)
    floor (43393.5)     		ty = 43393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29010 / 43393 ti = "16/29010/43393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29010/43393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29010 ÷ 216
    29010 ÷ 65536     		x = 0.442657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43393 ÷ 216
    43393 ÷ 65536     		y = 0.662124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.11468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36029374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662124633789062 × 2 - 1) × π
    -0.324249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01865911692619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36029374} λ = -0.36029374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01865911692619))-π/2
    2×atan(0.361078780138773)-π/2
    2×0.34651026281421-π/2
    0.69302052562842-1.57079632675     		φ = -0.87777580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36029374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.643311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87777580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.292849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29010 KachelY 43393 -0.36029374 -0.87777580 -20.643311 -50.292849
    Oben rechts KachelX + 1 29011 KachelY 43393 -0.36019786 -0.87777580 -20.637817 -50.292849
    Unten links KachelX 29010 KachelY + 1 43394 -0.36029374 -0.87783705 -20.643311 -50.296358
    Unten rechts KachelX + 1 29011 KachelY + 1 43394 -0.36019786 -0.87783705 -20.637817 -50.296358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87777580--0.87783705) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dl = 390.223750000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87777580--0.87783705) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dr = 390.223750000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36029374--0.36019786) × cos(-0.87777580) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63886384418597 × 6371000     		do = 390.250924739459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36029374--0.36019786) × cos(-0.87783705) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.638816722148531 × 6371000     		du = 390.222140173149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87777580)-sin(-0.87783705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63886384418597-0.638816722148531)×R²
    abs(-0.36019786--0.36029374)×4.71220374396175e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71220374396175e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71220374396175e-05×40589641000000     		ar = 152279.563129793m²